Coursera Learner working on a presentation with Coursera logo and
Coursera Learner working on a presentation with Coursera logo and

De Fourier Transformatie is een van de diepste inzichten ooit gemaakt. Helaas is de betekenis begraven in dichte vergelijkingen:

\displaystyle{X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-i 2 \pi k n / N}}

Wow. In tegenstelling tot het stuiteren in de beelden, zouden we de belangrijkste gedachte uit de eerste hand moeten tegenkomen. Hier is een eenvoudige-Engelse gelijkenis:

Wat doet Fourier Change? Als je een smoothie krijgt, vindt het de formule.

Hoe? Laat de smoothie door filters lopen om elk ingrediënt eruit te halen.

Waarom? Plannen zijn eenvoudiger te analyseren, te vergelijken en te wijzigen dan de smoothie zelf.

Hoe zouden we de smoothie herstellen? Meng de ingrediënten.

Hier is de “math English” versie van het bovenstaande:

De Fourier Change neemt een tijdsgebaseerd patroon, meet elke denkbare cyclus, en geeft de algemene “cyclusformule” terug (de overvloed, het tegengewicht, en de draaisnelheid voor elke gevonden cyclus).

Tijd voor de omstandigheden? Nee! We moeten onze handen vuil maken en ervaren hoe elk voorbeeld kan worden gewerkt met cycli, met levende nabootsingen.

Als alles goed gaat, hebben we een aha! minuut en erkennen we natuurlijk waarom de Fourier Change denkbaar is. We sparen het punt voor punt wiskunde onderzoek voor de ontwikkeling.

Dit is geen machtswandeling door de omstandigheden, het is de makkelijke wandeling die ik wou dat ik had. Vooruit!

Van Smoothie naar Formule

Een wiskundige verandering is een verschil in context. We veranderen onze gedachte over het bedrag van “enkele dingen” (regels in het zand, telraamwerk) naar “verzamelingen van 10” (decimaal), afhankelijk van wat we controleren. Een spel scoren? Tel het op. Dupliceren? Decimalen, alstublieft.

De Fourier Change verandert ons standpunt van shopper naar maker, en maakt van What do I have? in How was it made?

Aan het eind van de dag: als we een smoothie krijgen, moeten we de formule ontdekken.

Waarom? Alles bij elkaar genomen, zijn de plannen buitengewone uitbeeldingen van dranken. Je zou niet een drop-door-drop onderzoek delen, je zou zeggen “Ik had een sinaasappel/banaan smoothie”. De formule is des te effectiever geclassificeerd, bedacht en veranderd dan het artikel zelf.

Dus… als we een smoothie kregen, hoe zouden we dan de formule ontdekken?

fourier transform analogy smoothie to recipe

Inderdaad, stel je voor dat je een paar kanalen hebt laten rondslingeren:

Giet door het “banaan” kanaal. 1 oz van bananen is uitgeroeid.

Giet door het “oranje” kanaal. 2 oz van sinaasappels.

Giet door het “melk” kanaal. 3 oz melk.

Giet door het “water” kanaal. 3 oz water.

We kunnen de formule uitzoeken door elke bevestiging te zeven. De vangst?

De kanalen moeten vrij zijn. Het bananenkanaal moet bananen vangen, en dat is het. Inclusief meer sinaasappels mag het bananengebruik nooit worden beïnvloed.

De kanalen moeten klaar zijn. We krijgen niet de echte formule op de kans dat we een kanaal vergeten (“Er waren ook mango’s!”). Onze bijeenkomst van kanalen moet elke denkbare oplossing vangen.

De bevestigingen moeten zich kunnen verenigen. Smoothies kunnen worden geïsoleerd en weer samengevoegd zonder probleem. (Een traktatie? Niet echt. Wie heeft er stukken nodig?). De bevestigingen, wanneer geïsoleerd en samengevoegd in een verzoek, moet een vergelijkbaar resultaat.

Zie De Wereld Als Fietsen

De Fourier Change heeft een bepaald perspectief: Denk aan de mogelijkheid dat elk teken kan worden gescheiden in een heleboel ronde manieren.

Wacht even. Dit idee is geweldig, en de arme Joseph Fourier heeft zijn gedachte vanaf het begin laten varen. (Echt Joe, zelfs een voorbeeld van een trap kan worden gemaakt met behulp van cirkels?)

Bovendien verwachten we, ondanks vele jaren van discussie in het wiskunde netwerk, dat understudies de gedachte zonder probleem moeten verhullen. Ugh. Wat dacht je van een wandeling door het instinct.

De Fourier Change vindt de formule voor een teken, vergelijkbaar met onze smoothie procedure:

Begin met een tijd-gebaseerd signaal

Filters toepassen om elk mogelijk “cirkelvormig ingrediënt” te meten

Verzamelen van de volledige formule, het plaatsen van de maatregel van elke “roundabout fixing”.

Stop. Hier is de plaats waar de meeste instructie-oefeningen energetisch gezien bouwapplicaties naar je gezicht gooien. Probeer niet bang te worden; denk aan de modellen als “Schitterend, we zijn eindelijk de broncode (DNA) aan het observeren achter de al verwarrende gedachten”.

Als de kans groot is dat trillingen worden geïsoleerd in “fixings” (trillingen van verschillende tempo’s en amplitudes), kunnen de structuren bedoeld zijn om niet te interfacen met de meest geaarde structuren.

De kans dat geluidsgolven kunnen worden geïsoleerd in fixaties (lage en hoge tonen), kan worden ondersteund door de onderdelen waar we om geven en de onderdelen waar we niet om geven kunnen worden verborgen. De pop van onregelmatig geraas kan worden geëvacueerd. Mogelijk kan er gedacht worden aan vergelijkende “geluidsplannen” (muziekerkenningsadministraties kijken naar de plannen, niet naar de ruwe geluidssluitingen).

Bij de kans dat PC-informatie met aarzelende voorbeelden kan worden aangesproken, kunnen misschien de minst belangrijke over het hoofd worden gezien. Deze “verlieslatende druk” kan zeker de grootte van een psycholoog opnemen (en waarom JPEG- en MP3-documenten veel lichter zijn dan ruwe .bmp- of .wav-records).

Als de kans groot is dat een radiogolf ons teken is, kunnen we kanalen gebruiken om af te stemmen op een specifiek kanaal. In de smoothiewereld kan elk individu zich richten op een alternatieve fixatie: Adam zoekt naar appels, Weave zoekt naar bananen, en Charlie krijgt bloemkool (sorry bud).

De Fourier Change is waardevol in het bouwen, maar het is zeker een allegorie over het vinden van de onderliggende bestuurders achter een bewaakte impact.

Denk met cirkels, niet alleen Sinusoïden…

Een van mijn mammoetverstoringen was het isoleren van de betekenis van “sinusoïde” en “cirkel”.

Een “sinusoïde” is een bijzonder heen-en-weer ontwerp (een sinus of cosinusgolf), en 99% van de tijd verwijst het naar beweging in één meting.

Een “cirkel” is een rond, 2d patroon dat je waarschijnlijk kent. Als je het leuk vindt om 10-dollar woorden te gebruiken om 10-cent-ideeën te beschrijven, zou je een cirkelvormig pad een “complexe sinusoïde” kunnen noemen.

Het noemen van een ronde weg als een “verwarrende sinusoïde” lijkt op het afbeelden van een woord als een “multi-letter”. Je zoomt in op een ongepaste mate van detail. Woorden gaan over ideeën, niet over de letters waar ze deel van kunnen uitmaken!

De Fourier Change gaat over ronde manieren (niet 1-d sinusoïden) en Euler’s vergelijking is een sluwe methode om er een te produceren:

euler path

Moeten we denkbeeldige exponenten gebruiken om in een cirkel te bewegen? Nee. Maar het is handig en compact. En zeker, we kunnen ons pad beschrijven als gecoördineerde beweging in twee dimensies (echt en denkbeeldig), maar vergeet niet het grote geheel: we bewegen gewoon in een cirkel.