Goldbachs oorspronkelijke giswerk (soms ook wel het “ternaire” Goldbach-giswerk genoemd), geschreven in een brief van 7 juni 1742 aan Euler, stelt “het lijkt er tenminste op dat elk getal dat groter is dan 2 de som is van drie priemgetallen” (Goldbach 1742; Dickson 2005, p. 421). Merk op dat Goldbach geloofde dat het getal 1 een priemgetal was, een show die nooit meer wordt nagestreefd. Zoals Euler opnieuw heeft gecommuniceerd, bevestigt een gelijk type van deze gok (de “vaste” of “tweevoudige” Goldbach gok) dat alle positieve even getallen >=4 kunnen worden gecommuniceerd als het geheel van twee priemgetallen. Twee priemgetallen (p,q) met als einddoel dat p+q=2n voor n een positief geheel getal af en toe een Goldbachsegment (Oliveira e Silva) worden genoemd.

Zoals Hardy (1999, p. 19) aangeeft, “Het is bijna eenvoudig om slimme vermoedens te maken; zonder twijfel zijn er hypothesen, vergelijkbaar met ‘Goldbachs stelling’, die nooit zijn gedemonstreerd en die elke truc zou kunnen hebben gespeculeerd” Faber en Faber boden een prijs van $100000000 aan elke persoon die Goldbachs gok demonstreerde tussen 20 maart 2000 en 20 maart 2002, maar de prijs werd niet opgeëist en het gokje blijft open.

Schnirelman (1939) heeft aangetoond dat elk significant aantal kan worden samengesteld als het geheel van niet meer dan 300000 priemgetallen (Dunham 1990), wat vrij ver verwijderd lijkt van een bewijs voor twee priemgetallen! Pogorzelski (1977) beweerde de Goldbach-gok te hebben aangetoond, maar zijn verificatie wordt niet algemeen erkend (Shanks 1985). De bijbehorende tabelbruggen beperken n met als einddoel dat de degelijke Goldbach gok aantoonbaar geldig is voor getallen <n.

bound   verwijzing

1×10^4 Desboves 1885

1×10^5 Pijpen 1938

1×10^8 Stein en Stein 1965ab

2×10^(10)             Granville et al. 1989

4×10^(11)             Sinisalo 1993

1×10^(14)             Deshouillers et al. 1998

4×10^(14)             Richstein 1999, 2001

2×10^(16)             Oliveira e Silva (24 mrt 2003)

6×10^(16)             Oliveira e Silva (3 okt. 2003)

2×10^(17)             Oliveira e Silva (5 februari 2005)

3×10^(17)             Oliveira e Silva (30 dec. 2005)

12×10^(17)          Oliveira e Silva (14 jul. 2008)

4×10^(18)             Oliveira e Silva (apr. 2012)

De veronderstelling dat alle oneven getallen >=9 het totaal van drie oneven priemgetallen zijn staat bekend als de “zwakke” Goldbach gok. Vinogradov (1937ab, 1954) toonde aan dat elk voldoende groot oneven getal het totaal van drie priemgetallen is (Nagell 1951, p. 66; Guy 1994), en Estermann (1938) toonde aan dat vrijwel alle even getallen de totalen van twee priemgetallen zijn. Vinogradovs unieke “voldoende grote” N>=3^(3^(15)) ongeveer e^(e^(16,573)) ongeveer 3,25×10^(6846168) werd daarom door Chen en Wang (1989) gereduceerd tot e^(e^(11,503)) ongeveer 3,33×10^(43000). Chen (1973, 1978) toonde eveneens aan dat alle voldoende enorme even getallen het geheel van een priemgetal zijn en het resultaat van alles wat als twee priemgetallen wordt beschouwd (Guy 1994, Courant en Robbins 1996). Meer dan twee eeuwen nadat de eerste gok werd geuit, werd de fragiele Goldbach-gok aangetoond door Helfgott (2013, 2014).

Een meer gegronde variant van de zwakke gok, met name dat elk oneven getal >=7 kan worden gecommuniceerd als het totaal van een priemgetal naast het dubbele van een priemgetal staat bekend als Levy’s guess.

Een gelijke verklaring voor de Goldbach gok is dat voor elk positief geheel getal m, er primes p en q zijn met het einddoel dat

waar Pi_2 de tweelingprimes constant is (Halberstam en Richert 1974).