Lagrange-multipliers, ook wel Lagrangiaanse multipliers genoemd (bijv, Arfken 1985, p. 945), zullen vaak niet het extrema van een multivariate functie f(x_1,x_2,…,x_n) vinden onder de beperking g(x_1,x_2,… x_n)=0, waarbij f en g functies zijn met continue eerste partiële afgeleiden op de open set die de curve g(x_1,x_2,…,x_n)=0 bevatten, en del g!=0 op elk punt van de curve (waarbij del is dat de gradiënt).

LagrangeMultipliers

LagrangeMultipliers

Om een extremum van f op g te laten bestaan, moet de gradiënt van f op één lijn liggen met de gradiënt van g. Binnen de bovenstaande afbeelding is f weergegeven in rood, g in blauw, en daarom is het snijpunt van f en g aangegeven in lichtblauw. De gradiënt kan een horizontale vector zijn (d.w.z. het is geen z-component) die de richting aangeeft waarin de functie toeneemt; voor g staat hij loodrecht op de kromme, die in dit geval een lijn kan zijn. Als de 2 gradiënten in dezelfde richting liggen, dan mag men een veelvoud (-lambda) van het tegenovergestelde zijn , dus

 del f=-lambdadel g.

De twee vectoren zijn gelijk, dus al hun componenten zijn ook gelijk , waardoor

 (partialf)/(partialx_k)+lambda(partialg)/(partialx_k)=0

voor alle k=1, …, n, waarbij de constante lambda de Lagrange-vermenigvuldiger wordt genoemd.

Het extremum wordt dan gevonden door de n+1 vergelijkingen op te lossen in n+1 onbekenden, wat wordt aangevuld zonder omkering van g, waardoor de Lagrange-multipliers vaak zo nuttig zijn.

Voor meerdere beperkingen g_1=0, g_2=0, …,

 del f+lambda_1del g_1+lambda_2del g_2+...=0.