Een permutatie, ook wel “rangschikkingsnummer” of “volgorde” genoemd, is een herschikking van de elementen van een geordende lijst S in een een-op-een correspondentie met S zelf. Het aantal permutaties op een set van n elementen wordt gegeven door n! (n factorial; Uspensky 1937, p. 18). Er zijn bijvoorbeeld 2! =2-1=2 permutaties van {1,2}, namelijk {1,2} en {2,1}, en 3! =3-2-1=6 permutaties van {1,2,3}, namelijk {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {2,3,1}, {3,1,2}, en {3,2,1}. De permutaties van een lijst zijn te vinden in de Wolfram-taal met het commando Permutaties[lijst]. Een lijst van lengte n kan getest worden om te zien of het een permutatie is van 1, …, n in de Wolframtaal met het commando PermutationListQ[list].

Sedgewick (1977) vat een aantal algoritmen voor het genereren van permutaties samen, en identificeert het minimale veranderingspermutatiealgoritme van Heap (1963) als over het algemeen het snelste (Skiena 1990, p. 10). Een andere methode om permutaties op te sommen werd gegeven door Johnson (1963; Séroul 2000, pp. 213-218).

Het aantal manieren om een geordende deelverzameling van k-elementen uit een verzameling van n-elementen te verkrijgen wordt gegeven door

(Uspensky 1937, p. 18), waar n! een factorial is. Bijvoorbeeld, er zijn 4! {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5}, {\an5, {\an5, }…} De ongeordende deelverzamelingen met k-elementen staan bekend als de k-subsets van een bepaalde verzameling.

Een afbeelding van een verandering als gevolg van fase cycli is nieuw (tot aan het verzoek van de cycli). Een geval van een cyclisch verval is de fase {4,2,1,3} van {1,2,3,4}. Dit betekent (2)(143), met betrekking tot de onsamenhangende veranderingscycli (2) en (143). Er zijn veel mogelijkheden bij het kiezen van de weergave van een cyclische desintegratie omdat (1) de cycli onsamenhangend zijn en dus in elk verzoek kunnen worden bepaald, en (2) elke spil van een bepaalde cyclus een soortgelijke cyclus aangeeft (Skiena 1990, p. 20). Op deze manier geven (431)(2), (314)(2), (143)(2), (2)(431), (2)(314) en (2)(143) allemaal een soortgelijke verandering aan.

Een andere documentatie die uitdrukkelijk de posities van componenten erkent wanneer het gebruik van een wijziging op n componenten een 2×n raamwerk gebruikt, waarbij de primaire lijn (123…n) en de daaropvolgende lijn de nieuwe handelswijze is. Zo zou de wijziging die componenten 1 en 2 verwisselt en 3 fixeert, worden samengesteld als

Elke permutatie is ook een product van omzettingen. Permutaties worden meestal in lexicografische of transpositievolgorde aangeduid. Er is een overeenkomst tussen een permutatie en een paar Jonge taferelen die bekend staan als de Schensted-correspondentie.

Het aantal verkeerde permutaties van n objecten is [n!/e] waarbij [x] de dichtstbijzijnde gehele functie is. Een permutatie van n geordende objecten waarin geen enkel object op zijn natuurlijke plaats is heet een gestoordheid (of soms, een volledige permutatie) en het aantal van dergelijke permutaties wordt gegeven door de subfactoriële !n.

Met behulp van

(x+y)^n=sum_(r=0)^n(n; r)x(n-r)y^r

(3)

met x=y=1 geeft

2^n=sum_(r=0)^n(n; r),

(4)

dus het aantal manieren om 0, 1, …, of n tegelijk te kiezen is 2^n.

De set van alle permutaties van een set van elementen 1, …, n kan verkregen worden met de volgende recursieve procedure

1 2; / ; 2 1

(5)

1 2 3; / ; 1 3 2 ; / ; 3 1 2 ; | ; 3 2 1 ; \ ; 2 3 1 ; \ ; 2 1 3

(6)

Denk aan permutaties waarbij geen paar opeenvolgende elementen (d.w.z. stijgende of dalende opeenvolgingen) voorkomen. Voor n=1, 2, … elementen zijn de aantallen van dergelijke permutaties 1, 0, 0, 2, 14, 90, 646, 5242, 47622, … (OEIS A002464).

Laat de verzameling van gehele getallen 1, 2, …, N worden gepermuteerd en de resulterende reeks wordt verdeeld in oplopende reeksen. Geef de gemiddelde lengte van de n-de reeks aan als N het oneindige nadert, L_n. De eerste paar waarden zijn samengevat in de volgende tabel, waarbij e de basis is van het natuurlijke logaritme (Le Lionnais 1983, pp. 41-42; Knuth 1998).

n L_n OEIS bij benadering

1 e-1 A091131 1.7182818…

2 e^2-2e A091132 1.9524…

3 e^3-3e^2+3/2e A091133 1,9957…