Een permutatie, ook wel “rangschikkingsnummer” of “bestelling” genoemd, kan een herschikking zijn van het weer van een geordende lijst S in een een-op-een correspondentie met S zelf. De hoeveelheid permutaties op een groep van n elementen wordt gegeven door n! (n factorial; Uspensky 1937, p. 18). bijvoorbeeld, er zijn 2!=2-1=2 permutaties van {1,2}, namelijk {1,2} en {2,1}, en 3!=3-2-1=6 permutaties van {1,2,3}, namelijk {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}, en {3,2,1}. De permutaties van een inventaris worden vaak gevonden binnen de Wolfram Taal met behulp van het commando Permutaties[lijst]. een inventaris van lengte n worden vaak getest om na te gaan of het een permutatie is van 1, …, n binnen de Wolfram Taal met behulp van het commando PermutationListQ[lijst].

Sedgewick (1977) vat verschillende algoritmen voor het genereren van permutaties samen, en identificeert het minimale veranderingspermutatiealgoritme van Heap (1963) om over het algemeen de snelste te zijn (Skiena 1990, p. 10). Een andere methode om permutaties op te sommen werd gegeven door Johnson (1963; Séroul 2000, pp. 213-218).

Het nummer van de manier om een geordende deelverzameling van k-elementen uit een groep van n-elementen te verkrijgen wordt gegeven door

_nP_k=(n!)/((n-k)!)

(1)

(Uspensky 1937, p. 18), waar n! een factorial kan zijn. bijvoorbeeld, er zijn 4! /2! =12 2-subsets van {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,1}, {2,3}, {2,4}, {3,1}, {3,2}, {3,4}, {4,1}, {4,2}, en {4,3}. De ongeordende deelverzamelingen met k-elementen worden de k-subsets van een bepaalde verzameling genoemd.

Een voorstelling van een permutatie als een product van permutatiecycli is exclusief (tot de volgorde van de cycli). Een voorbeeld van een cyclische ontleding is dat de permutatie {4,2,1,3} van {1,2,3,4}. dit wordt vaak aangeduid met (2)(143), zoals de onsamenhangende permutatiecycli (2) en (143). er is een uitstekende vrijheid in het kiezen van de representatie van een cyclische ontleding omdat (1) de cycli onsamenhangend zijn en dus in elke volgorde kunnen worden gelegd, en (2) elke rotatie van een bepaalde cyclus een equivalente cyclus specificeert (Skiena 1990, p. 20). Daarom beschrijven (431)(2), (314)(2), (143)(2), (2)(431), (2)(314) en (2)(143) alle een equivalente permutatie.

Een andere notatie die expliciet de posities van elementen voor en na de toepassing van een permutatie op n elementen aangeeft, gebruikt een 2×n matrix, waarbij de primaire rij (123…n) is en dus de tweede rij is dat de nieuwe rangschikking. bijvoorbeeld, de permutatie die elementen 1 en een paar wisselt en 3 fixeert, zou worden geschreven als

[1 2 3; 2 1 3].

(2)

Elke permutatie is bovendien een product van transpositie. Permutaties worden meestal aangeduid in lexicografische of transpositievolgorde. Er is een overeenkomst tussen een permutatie en een paar Jonge taferelen die de Schensted-correspondentie worden genoemd.

Het aantal verkeerde permutaties van n objecten is [n!/e] waarbij [x] de dichtstbijzijnde gehele functie is. Een permutatie van n geordende objecten waarbij geen enkel object op zijn natuurlijke plaats is, wordt een gestoorde (of soms een hele permutatie) genoemd en daarom wordt het aantal van zulke permutaties gegeven door de subfactoriële !n.

Met behulp van

(x+y)^n=sum_(r=0)^n(n; r)x(n-r)y^r

(3)

met x=y=1 geeft

2^n=sum_(r=0)^n(n; r),

(4)

dus het nummer van de manier van selecteren van 0, 1, …, of n per keer is 2^n.

De verzameling van alle permutaties van een groep elementen 1, …, n worden vaak verkregen met de daaropvolgende recursieve procedure

1 2; / ; 2 1

(5)

1 2 3; / ; 1 3 2 ; / ; 3 1 2 ; | ; 3 2 1 ; \ ; 2 3 1 ; \ ; 2 1 3

(6)

Denk aan permutaties waarbij geen paar opeenvolgende elementen (d.w.z. stijgende of dalende opeenvolgingen) voorkomen. Voor n=1, 2, … elementen zijn de aantallen van dergelijke permutaties 1, 0, 0, 2, 14, 90, 646, 5242, 47622, … (OEIS A002464).

Laat de verzameling van gehele getallen 1, 2, …, N worden gepermuteerd en daarom wordt de resulterende reeks opgedeeld in oplopende reeksen. Geef de typische lengte van de n-de reeks aan als N het oneindige nadert, L_n. de primaire paar waarden zijn samengevat in de volgende tabel, waarbij e is dat de basis van het Napieriaanse logaritme (Le Lionnais 1983, pp. 41-42; Knuth 1998).

n L_n OEIS bij benadering

1 e-1 A091131 1.7182818…

2 e^2-2e A091132 1.9524…

3 e^3-3e^2+3/2e A091133 1,9957…