Een n×n complexe matrix A wordt positief definitief genoemd als

R[x^*Ax]>0

(1)

voor alle niet-nul-complexvectoren x in C^n, waarbij x^* staat voor de conjugaattranspositie van de vector x. binnen het geval van een ware matrix A, reduceert vergelijking (1) tot

x^(T)Ax>0,

(2)

waarbij x^(T) staat voor de transpositie. Positieve, definitieve matrices zijn zowel theoretisch als rekenkundig van belang tijdens een grote verscheidenheid aan toepassingen. Ze worden bijvoorbeeld gebruikt in optimalisatie-algoritmen en binnen de constructie van gevarieerde regressiemodellen (Johnson 1970).

Een lineair stelsel van vergelijkingen met een positief bepaalde matrix wordt vaak efficiënt opgelost met behulp van de zogenaamde Cholesky decompositie. Een positieve bepaalde matrix heeft minimaal één matrixwortel. Bovendien is precies één van de vierkantswortels van de matrix zelf positief bepaald.

Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor een chique matrix A om positief bepaald te zijn, is dat het Hermitiaanse gedeelte

A_H=1/2(A+A^(H)),

(3)

Waar A^(H) de conjugaattranspositie aangeeft, is dit positief bepaald. Dit suggereert dat een ware matrix A positief bepaald is als het symmetrische deel

A_S=1/2(A+A^(T)),

(4)

waarbij A^(T) is dat de omzetting, positief definitief is (Johnson 1970).

Verwarrend genoeg is de discussie over positieve definitiete matrices meestal beperkt tot alleen Hermitiaanse matrices, of symmetrische matrices binnen het geval van echte matrices (Pease 1965, Johnson 1970, Marcus en Minc 1988, p. 182; Marcus en Minc 1992, p. 69; Golub en Van Loan 1996, p. 140). Een Hermitiaanse (of symmetrische) matrix is positief als al zijn eigenwaarden positief zijn. Daarom is een algemene complexe (resp. reële) matrix positief bepaald als het Hermitiaanse (of symmetrische) deel ervan alle positieve eigenwaarden heeft.

De determinant van een positieve definiete matrix is meestal positief, dus een positieve definiete matrix is meestal niet-singulier.

Als A en B positief bepaald zijn, dan is A+B dat ook. De matrix inverse van een positieve bepaalde matrix is bovendien positief bepaald.

De definitie van positieve definiteerbaarheid is als de noodzaak dat de determinanten met betrekking tot alle linksboven gelegen submatrices positief zijn.

De volgende voorwaarden zijn noodzakelijk (maar niet voldoende) om een Hermitiaanse matrix A (die per definitie echte diagonale elementen a_(ii) heeft) positief te definiëren.

1. a_(ii)>0 voor alle i,

2. a_(ii)+a_(jj)>2|R[a_(ij)]| voor i!=j,

3. Het element met de grootste modulus ligt op de meest diagonale,

4. det(A)>0.

Hier is R[z] dat het echte deel van z, en een typfout in Gradshteyn en Ryzhik (2000, p. 1063) is gecorrigeerd in punt (ii).

Een reëel symmetrische matrix A is positief bepaald als er een ware vierkante matrix M bestaat zoals

A=MM^(T),

(5)

waarbij M^(T) is dat de transpositie (Ayres 1962, p. 134). in het bijzonder , een 2×2 symmetrische matrix

a b; b c]

(6)

is zeker positief als

av_1^2+2bv_1v_2+cv_2^2>0

(7)

voor alle v=(v_1,v_2)! =0.

De aantallen positieve definitieve n×n matrices van bepaalde typen zijn samengevat in de volgende tabel. Bijvoorbeeld, de drie positieve definitieve 2×2 (0,1)-matrices zijn

[1 0; 0 1],[1 0; 1 1],[1 1; 0 1],

(8)

die allemaal eigenwaarde 1 hebben met ontaarding van twee.

matrix type OEIS telt

(0,1)-matrix A085656 1, 3, 27, 681, 43369, …

(-1,0,1)-matrix A086215 1, 7, 311, 79505, …