Priemgetallen

Wat zijn priemgetallen?

Een priemgetal heeft geen andere factor dan één en zichzelf. Deze gehele getallen zijn groter dan één. Een factor is een geheel getal dat je gelijkelijk door andere getallen kunt delen. De lijst van priemgetallen omvat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, enzovoort. Vanaf 1 zijn er slechts 25 priemgetallen tot 100. Wanneer een geheel getal meer factoren dan twee heeft, noemt men dat samengestelde getallen. We zullen één niet beschouwen als een samengesteld getal of priemgetal. Met andere woorden, je kunt een priemgetal alleen delen door één en zichzelf zonder de rest. U kunt bijvoorbeeld 17 alleen delen door één en door 17.

Enkele belangrijke feiten over priemgetallen

• 2 is het enige even priemgetal. Je kunt alle andere even getallen door 2 delen.
• Je kunt een getal door 3 delen als de som van een getal een veelvoud van 3 is
• Er is geen priemgetal dat groter is dan 5 en waarvan het laatste cijfer geen 5 is – Je kunt elk getal met 5 delen dat eindigt op 5
• Je kunt nul en één niet als een priemgetal beschouwen
• Elk getal is een samengesteld getal of een priemgetal, behalve nul en één: Dit betekent dat elk getal dat geen samengesteld getal is, een priemgetal is en vice versa.
  Als u wilt bewijzen dat een getal een priemgetal is, moet u het delen door 2. Dus als het resultaat een geheel getal is, is het geen priemgetal. Maar als het getal geen geheel getal is, dan kunt u het delen door andere priemgetallen zoals 3, 5, 7, 11, enzovoort.

Bepalen of het getal een priemgetal is

U kunt een computer gebruiken om te bepalen of een groot getal een priemgetal is of niet. Aangezien er geen beperking is op hoe groot een getal kan zijn, is het bewijzen van grote getallen als een priemgetal een lastige taak. Zelfs als je een supercomputer gebruikt, zijn de beperkingen eindeloos. Het grootste getal waarvan we tot nu toe weten dat het een priemgetal is, heeft bijvoorbeeld 24.862.048 cijfers.
Deskundigen proberen verschillende algoritmen te formuleren om een manier te vinden en zelfs de grootste priemgetallen te vinden. Beschouw bijvoorbeeld “n” als het gehele getal, maar wij weten niet of het een samengesteld of een priemgetal is. Om te weten of het een priemgetal is, nemen we ½ als de macht van “n,” of nemen we de vierkantswortel. Nu kan men dit getal afronden tot het op één na grootste getal en dat aanduiden met “m”. We kunnen deze quotiënten vinden:
qm = n / m
q(m-1) = n / (m-1)
q(m-2) = n / (m-2)
q(m-3) = n / (m-3). . . .
q3 = n / 3
q2 = n / 2
Hieruit volgt dat “n” een priemgetal is als q de bovenstaande afleiding is.

Mersenne- en Fermatpriemgetallen

Een Mersenne-priem is een getal dat je kunt herleiden tot 2 n – 1. In deze vorm is de “n” een priemgetal. Hier zijn enkele van de eerste bekende “n”-waarden die Mersenne-priemgetallen kunnen opleveren:
n = 2, n = 3, n = 5, n = 7, n = 13, n = 17, n = 19, n = 31, n = 61, en n = 89
Terwijl een priemgetal van Fermat een priemgetal en een getal van Fermat is. De vorm van het getal van Fermat Fn is 2m + 1. In deze vorm is m de macht van 2. Dat betekent dat m = 2n. Bovendien is n in deze vorm het gehele getal.

Priemgetallen en cryptografie

Encryptie zal altijd de grondregel bevatten. Het zal omvatten:

• Het algoritme
• De eigenlijke procedure
  Deze beide componenten hebben geen geheimen, maar de sleutel wel. U kunt priemgetallen gebruiken om verschillende sleutels te maken. De reden waarom openbare/privésleutel-encryptie essentieel is, is bijvoorbeeld dat u gemakkelijk producten kunt berekenen door twee willekeurige priemgetallen te kiezen. U zult het echter moeilijk en tijdrovend vinden om de twee verschillende priemgetallen te vinden en een groter product te maken. De reden dat het moeilijk kan zijn, is dat u alleen het product kent.
  Een populair voorbeeld is de cryptografie met publieke sleutels Rivest-Shamir-Adleman of RSA. Dit stelt dat je priemgetallen altijd als uniek zult vinden. Talrijke toepassingen maken gebruik van de priemgetallen bij de Digital Signature Standard (DSS) en de Diffie-Hellmen.

Is 258000 een priemgetal

Nee, 258000 is geen priemgetal, maar het is wel een samenstelling. U kunt 258000 schrijven als het product van de priemfactoren. Hier zijn de priemfactoren:
258000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 x 5 x 43
Als je dit omrekent naar exponentiële notatie, schrijf je het als:
258000 = 24 × 3 × 53 × 43

Conclusie

Er zijn nog talrijke historische vragen over priemgetallen op te lossen. Zo betekent het vermoeden van Goldbach dat je elk even getal groter dan 2 kunt uitdrukken als de som van twee priemgetallen. Verder zegt het dat je oneindig veel priemparen kunt maken, met één even getal ertussen. Dit soort vragen moedigt wiskundigen aan om verdere vooruitgang te boeken op het gebied van getaltheorie. Je kunt priemgetallen gebruiken voor verschillende informaticataken.