Als een matrix A een niet-omkeerbare flitspaalmatrix P heeft (bijvoorbeeld de matrix [1 1 1; 0 1] heeft het niet-omkeerbare flitspaalsysteem [1 0; 0 0]), dan heeft A geen ontbinding van de flitspaal. Als A echter een echte matrix m×n is met m>n, dan kan A geschreven worden met behulp van een zogenaamde singuliere ontledingswaarde van de vorm

A=UDV^(T).

(1)

Opgemerkt dient te worden dat er in de literatuur een aantal tegenstrijdige conceptuele conventies worden gebruikt. Press et al. (1992) definiëren U als m×n matrix, D als n×n en V als n×n. De Wolfram-taal definieert U echter als m×m, D als m×n en V als n×n. In beide stelsels hebben U en V orthogonale kolommen, zodat

U^(T)U=I

(2)

e

V^(T)V=I

(3)

(waarbij de twee identiteitsmatrices verschillende afmetingen kunnen hebben), en D heeft alleen vermeldingen langs de diagonaal.

Voor een complexe matrix A is de ontleding van de singuliere waarde een ontleding in de vorm

A=UDV^(H),

(4)

waarbij U en V eenheidsmatrixen zijn, V^(H) de geconjugeerde omzetting van V is, en D een diagonale matrix is waarvan de elementen de singuliere waarden van de oorspronkelijke matrix zijn. Als A een complexe matrix is, dan is er altijd zo’n ontleding met positieve singuliere waarden (Golub en Van Loan 1996, pp. 70 en 73).

De decompositie van singuliere waarden is geïmplementeerd in de Wolfram-taal als SingularValueDecomposition[m], wat een lijst {U, D, V} oplevert, waarbij U en V matrices zijn en D een diagonale matrix is die is samengesteld uit de singuliere waarden van m.