Interaktywny przewodnik po transformacji Fouriera

Transformacja Fouriera jest jednym z najgłębszych odkryć, jakie kiedykolwiek powstały. Niestety, znaczenie jest pogrzebane w gęstych równaniach:

Wow. W odróżnieniu od odbijania się w obrazie, powinniśmy zetknąć się z kluczową myślą z pierwszej ręki. Oto równolicie angielskie podobieństwo:

Co robi Fourier Change? Podając smoothie, znajduje formułę.

Jak? Przepuść smoothie przez filtry, aby wyekstrahować każdy składnik.

Dlaczego? Plany są prostsze do analizy, porównania i modyfikacji niż sam smoothie.

Jak odzyskamy smoothie? Wymieszać składniki.

Oto “matematyczna angielska” wersja powyższego:

Zmiana Fouriera przyjmuje wzorzec oparty na czasie, mierzy każdy możliwy cykl i zwraca ogólnie mówiąc “formułę cyklu” (obfitość, przeciwwagę i prędkość obrotową dla każdego znalezionego cyklu).

Czas na warunki? Nie! Powinniśmy ubrudzić sobie ręce i doświadczyć, jak każdy przykład może być używany w cyklach, z żywymi przedstawieniami.

Na wszelki wypadek, gdyby wszystko poszło dobrze, będziemy mieli aha! minutę i oczywiście przyznamy, dlaczego zmiana Fouriera jest możliwa. Będziemy oszczędzać punkt po punkcie badanie matematyczne dla rozwoju.

To nie jest mocny chód przez warunki, to jest łatwy chód, który chciałbym mieć. Naprzód!

Od Smoothie do Formuły

Zmiana matematyki to różnica w kontekście. Zmieniamy myślenie o ilości z “pojedynczych rzeczy” (linie w piasku, ramy liczenia) na “zgromadzenia 10” (dziesiętne) w zależności od tego, co sprawdzamy. Zdobywasz punkty w grze? Policzcie to. Duplikowanie? Decimals, uprzejmie

Zmiana Fouriera zmienia nasz punkt widzenia z kupującego na wytwórcę, zmieniając to, co mam? W Jak to się stało?

Na koniec dnia: biorąc pod uwagę koktajl, powinniśmy odkryć formułę.

Dlaczego? Wszystkie rozważane rzeczy, plany to niezwykłe portrety napojów. Nie podzieliłbyś się śledztwem, powiedziałbyś “Miałem pomarańczowo-bananową koktajl”. Formuła ta jest tym skuteczniej klasyfikowana, przemyślana i zmieniona niż sam artykuł.

Więc… biorąc pod uwagę smoothie, jak odkrylibyśmy formułę?

Rzeczywiście, wyobrażam sobie, że miałeś kilka kanałów leżących dookoła:

Przelać przez kanał “bananowy”. 1 uncja bananów jest wydalona.

Przelać przez kanał “pomarańczowy”. 2 uncje pomarańczy.

Wlać przez kanał “mleczny”. 3 uncje mleka.

Przelać przez kanał “wodny”. 3 uncje wody.

Formułę możemy ustalić poprzez przesiewanie każdego mocowania. Złapanie?

Kanały muszą być wolne. Kanał bananowy musi łapać banany, i to wszystko. Włączenie większej ilości pomarańczy nigdy nie powinno mieć wpływu na przenikanie bananów.

Kanały muszą być skończone. Nie dostaniemy prawdziwej formuły na wypadek, gdybyśmy zapomnieli o kanale (“Były też mango!”). Nasze zgromadzenie kanałów musi uchwycić każde możliwe mocowanie.

Zamocowania muszą łączyć się zdolne. Smoothies mogą być odizolowane i połączone ponownie bez problemu (smakołyk? Nie bardzo. Kto potrzebuje kawałków?). Elementy mocujące, gdy są odizolowane i połączone w dowolnej prośbie, muszą dać podobny rezultat.

The World As Cycles

Zmiana Fouriera przyjmuje szczególną perspektywę: Rozważyć możliwość, że każdy znak może być oddzielony na wiele różnych sposobów.

Poczekaj. Ten pomysł jest cudowny, a biedny Joseph Fourier od samego początku odrzucił swoją myśl. (Naprawdę Joe, nawet przykład klatki schodowej może być wykonany przy użyciu kół?)

Ponadto, pomimo wielu lat dyskusji w sieci matematycznej, przewidujemy, że niedopowiedzenia powinny bez problemu maskować myśl. Ugh. Może przejdziemy przez instynkt.

The Fourier Change znajduje formułę znaku, podobną do naszej procedury smoothie:

Zacznij od sygnału opartego na czasie

Zastosuj filtry do pomiaru każdego możliwego “okrągłego składnika”.

Zbierz pełny wzór, umieszczając miarę każdego “mocowania ronda”.

Przestań. Oto miejsce, w którym większość ćwiczeń instruktażowych energetycznie rzuca aplikacje budowlane w twarz. Spróbuj się nie przestraszyć; pomyśl o modelach jako o “Oszałamiający, nareszcie obserwujemy kod źródłowy (DNA) za i tak już zagmatwanymi myślami”.

Na wypadek, gdyby drgania wstrząsowe można było wyizolować w “mocowaniach” (drgania o różnych amplitudach i wymiarach), konstrukcje mogą być przeznaczone do powstrzymania się od interakcji z najbardziej uziemionymi.

Na wszelki wypadek, gdyby fale dźwiękowe można było odizolować na stałe (basy i wysokie tony), możemy wspierać te części, na których nam zależy i ukrywać te, na których nam nie zależy. Nieregularny trzask może zostać ewakuowany. Ewentualnie można pomyśleć o porównawczych “planach dźwiękowych” (administracja zajmująca się potwierdzaniem muzyki przygląda się planom, a nie surowym zapętleniom dźwiękowym).

Na wypadek, gdyby z informacjami z komputera można było rozmawiać na chwiejnych przykładach, być może te najmniej znaczące mogą zostać przeoczone. Ta “strata presji” może zdecydowanie psychologicznie zapisywać rozmiary (i dlaczego dokumenty JPEG i MP3 są dużo mniejsze niż surowe rekordy .bmp lub .wav).

Na wszelki wypadek, gdyby fala radiowa była naszym znakiem, możemy wykorzystać kanały, aby dostroić się do konkretnego kanału. W świecie smoothie, wyobrazić sobie, że każdy człowiek koncentruje się na naprzemiennym mocowaniu: Adam szuka jabłek, Weave szuka bananów, a Charlie dostaje kalafiora (sorry bud).

Zmiana Fouriera jest cenna w budownictwie, jednak z pewnością jest to alegoria o odnajdywaniu kierowców kryjących się za obserwowanym uderzeniem.

Myśl z kołami, nie tylko sinusoidami.

Jeden z moich mamutów disarrays izolował znaczenia “sinusoidy” i “kręgu”.

Sinusoida” jest szczególną konstrukcją (fala sinusoidalna lub cosinusoidalna), a w 99% przypadków odnosi się do ruchu w jednym pomiarze.

Okrąg to okrągły, 2d wzór, który zapewne znasz. Jeśli lubisz używać dziesięciodolarowych słów do opisu dziesięciocentowych pomysłów, możesz nazwać okrągłą ścieżkę “skomplikowaną sinusoidą”.

Okrągłe nazewnictwo jako “niepokojąca sinusoida” przypomina przedstawianie słowa jako “wieloliterowego”. Przybliżyłeś się do nieodpowiedniego stopnia szczegółowości. Słowa są o pomysłach, a nie o literach, w których mogą być zawarte!

Zmiana Fouriera dotyczy dróg okrężnych (nie sinusoidów 1-d), a równanie Eulera jest sprytnym sposobem na ich wytworzenie:

Czy musimy używać wyimaginowanych wykładników, aby poruszać się w kręgu? Nie. Ale jest wygodny i kompaktowy. I na pewno możemy opisać naszą drogę jako skoordynowany ruch w dwóch wymiarach (rzeczywistym i wyobrażeniowym), ale nie zapominajmy o dużym obrazie: poruszamy się po prostu w kole.