WYKONYWANIE TEGO TOPU w klasie MathWorld

Mamy kilka ściśle powiązanych ze sobą wyników, które są różnie nazywane twierdzeniem dwumianowym w zależności od źródła. Bardziej mylący jest fakt, że niektóre z tych (i innych) blisko spokrewnionych wyników są różnie nazywane formułą dwumianową, dwumianową ekspansją i dwumianową tożsamością, z samą tożsamością czasami po prostu nazywaną “dwumianową serią”, a nie “dwumianowym twierdzeniem”.

Bardziej ogólnym przypadkiem dwumianowego twierdzenia jest tożsamość serii dwumianowych

 (x+a)^nu=sum_(k=0)^infty(nu; k)x^ka^(nu-k),

gdzie (nu; k) jest współczynnikiem dwumianowym, a nu jest liczbą rzeczywistą. Ta seria zbiega się dla nu>=0 liczby całkowitej, lub |x/a|<1. Ogólna forma jest taka, jak Graham i inni (1994, s. 162). Arfken (1985, s. 307) nazywa specjalny przypadek tej formuły z a=1 dwumianowym twierdzeniem.

Gdy n jest liczbą całkowitą dodatnią n, kończy się ona n=nu i może być zapisana w postaci

 (x+a)^n=sum_(k=0)^n(n; k)x^ka^(n-k).

Ta forma tożsamości nazywana jest dwumianowym twierdzeniem Abramowitza i Steguna (1972, s. 10).

Poszczególne terminologie zostały podsumowane w poniższej tabeli.

“twierdzenie dwumianowe” źródło

Graham et al. (1994, s. 162)

Arfken (1985, s. 307)

Abramowitz i Stegun (1972, s. 10)

“źródłowe” dwumianowe twierdzenie

Abramowitz i Stegun (1972, s. 10)

To dwumianowe twierdzenie znane było z przypadku n=2 Euklidesa około 300 roku p.n.e., a ogłoszone w nowoczesnej formie przez Pascala w pośmiertnej broszurze opublikowanej w 1665 roku. The broszurka Pascal, wraz z the korespondencja na the temat z Fermat od 1654 (i publikować w 1679) być the podstawa dla the arytmetyczny trójkąt w jego cześć.

Wzór ten pokazał również Newton (1676) dla liczb całkowitych ujemnych -n,

 (x+a)^(-n)=sum_(k=0)^infty(-n; k)x^ka^(-n-k),

która jest tak zwaną ujemną serią dwumianową i zbiega się do |x|<a.

w rzeczywistości, uogólnienie

 (1+z)^a=sum_(k=0)^infty(a; k)z^k

trzyma dla całego kompleksu z z z |z|<1.

Do jego wielu innych talentów należy generał major Stanley w “Pieśni generała majora” Gilberta i operetka Sullivana “Piraci pokuty”, która imponuje piratom swoją wiedzą o dwumianowym twierdzeniu w “Pieśni generała majora”: “Mam informacje roślinne, zwierzęce i mineralne, rozumiem królów Anglii i cytuję historyczne bitwy, od Maratonu do Waterloo, w porządku kategorycznym; znam też bardzo dobrze sprawy matematyczne, rozumiem równania, zarówno proste, jak i kwadratowe, dotyczące dwumianowego twierdzenia rojącego się od wiadomości, z wieloma wesołymi faktami na temat kwadratu hipotensji”.