Coursera Learner working on a presentation with Coursera logo and
Coursera Learner working on a presentation with Coursera logo and

W geometrii, współliniowość zbioru punktów jest właściwością ich położenia na jednej linii.[1] Zbiór punktów o tej właściwości jest uważany za współliniowy (czasami pisany jako współliniowy[2]). Mówiąc bardziej ogólnie, termin ten został użyty w odniesieniu do obiektów wyrównanych, czyli rzeczy będących “w linii” lub “w rzędzie”.

Punkty na linii

W każdej geometrii zestaw punktów na linii jest uważany za współliniowy. W geometrii euklidesowej połączenie to jest naturalnie przedstawiane przez ogniska leżące kolejno na “linii prostej”. Tak czy inaczej, w wielu geometriach (licząc euklidesowy) linia jest zwykle prymitywnym (niewyraźnym) typem obiektu, więc takie reprezentacje nie będą naprawdę odpowiednie. Model dla geometrii oferuje interpretację sposobu, w jaki punkty, linie i inne typy elementów identyfikują się ze sobą i pojęcie, na przykład, współliniowość musi być rozszyfrowana wewnątrz ustawienia tego modelu. Na przykład w geometrii kołowej, gdzie do linii w modelu standardowym mówi się za pomocą niewiarygodnych kół okręgu, zestawy współliniowych skupień leżą na podobnym niezwykłym kole. Takie skupienia nie leżą na “linii prostej” w sensie euklidesowym i nie są uważane za kolejne.

Mapowanie geometrii, która wysyła linie do linii, znane jest jako współliniowanie; jest to galaretowata właściwość współliniowości. Proste mapy (lub bezpośrednie elementy) przestrzeni wektorowych, widziane jako mapy geometryczne, od linii do linii; to znaczy, że mapują one współliniowe zestawy przewodników w kierunku współliniowych zestawów punktów jako, są współliniowaniami. W geometrii rzutowej te bezpośrednie mapowania nazywane są homografiami i są tylko jednym z rodzajów kollinacji.

Przykłady w geometrii euklidesowej

Trójkątów

W każdym trójkącie następujące zestawy punktów są współliniowe:

Ortocentrum, obwód, centroid, punkt Exeter, punkt de Longchamps i środek dziewięciopunktowego okręgu są współliniowe, wszystkie spadają na linii zwanej linią Eulera.

Punkt de Longchamps ma również inne współliniowości.

Każdy wierzchołek, styczność przeciwległego boku z okręgiem, oraz punkt Nagela są współliniowe w linii zwanej rozdzielaczem trójkąta.

Środek dowolnego boku, punkt, który jest od niego równoodległy wzdłuż granicy trójkąta w obu kierunkach (więc te dwa punkty przecinają obwód), oraz środek okręgu Spiekera są współliniowe na linii zwanej tasakiem trójkąta. (Koło Spiekera jest okręgiem trójkąta środkowego, a jego środek jest środkiem masy obwodu trójkąta).

Każdy wierzchołek, styczność przeciwległej strony z okręgiem i punkt Gergonne’a są współliniowe.

Z każdego punktu na obwodzie trójkąta, najbliższe punkty na każdym z trzech przedłużonych boków trójkąta są współliniowe w linii Simsona punktu na obwodzie.

Linie łączące stopy wysokości przecinają się po przeciwnych stronach w punktach współliniowych.[3]:s.199

Motywacja trójkąta, środek wysokości i punkt styku odpowiedniego boku z okręgiem względem tego boku są współliniowe.[4]:s.120,#78

Twierdzenie menu mówi, że trzy punkty {\i1}, P_{\i1},P_{2},P_{3},P_{1},P_{2},P_{3} po bokach (częściowo wydłużonych) trójkąta o przeciwległych wierzchołkach {\i1},A_{2},A_{3},A_{1},A_{2},A_{3}są współliniowe odpowiednio, jeśli i tylko następujące iloczyny długości segmentów są równe:[3]:p. 147

{\i1}A_{2}Cdot P_{2}A_{3}\i1}Cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\i1}Cdot P_{2}A_{1}Cdot P_{3}A_{2}.{\i0}P_{1}A_{2}Cdot P_{2}A_{3}Cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}Cdot P_{2}A_{1}Cdot P_{3}A_{2}.

Motywacja, centroid i środek kręgu Spiekera są współliniowe.

Obwód, punkt środkowy Brocard i punkt Lemoine w trójkącie są współliniowe.[5]

Dwie prostopadłe linie przecinające się w ortokącie trójkąta, każda z nich przecina każdy z jego wydłużonych boków. Punkty środkowe po trzech stronach tych punktów przecięcia są współliniowe na linii Droz-Farny.

Quadrilaterals

W wypukłym czworoboku ABCD, którego przeciwległe strony przecinają się na E i F, środkowe punkty AC, BD i EF są współliniowe, a linia przez nie przechodząca nazywana jest linią Newtona (czasami znaną jako linia Newtona-Gaussa[potrzebne cytaty]). Jeśli czworokąt jest czworobocznym czworobocznym stycznym, to jego zachęta również leży na tej linii.[6]

W czworoboku wypukłym punkty H, “środek powierzchni” G i środek O są współliniowe w tej kolejności, a HG = 2GO.[7] (Patrz: Czworoboki#Wypukłe punkty i linie w czworoboku wypukłym).

Inne współliniowości czworokąta stycznego są podane w punktach stycznego czworokąta#Colliniowe.

W cyklicznym czworoboku obwód, wierzchołek centroidu (przecięcie dwóch bimedianów) i anty-centrum są współliniowe.[8]

W cyklicznym czworoboku obszar środkowy, wierzchołek centryczny i przecięcie przekątnych są współliniowe.[9]

W trapezie stycznym, styczność okręgu z dwoma podstawami jest współliniowa z zachętą.

W trapezie stycznym, punkty środkowe nóg są współliniowe z zachętą.

Hexagony

Twierdzenie Pascala (znane również jako Hexagrammum Mysticum Theorem) stwierdza, że jeżeli na odcinku stożkowym (tj. elipsie, paraboli lub hiperboli) wybierze się arbitralnie sześć punktów i połączy odcinkami linii w dowolny sposób tworząc sześciokąt, wówczas trzy pary przeciwległych boków sześciokąta (w razie potrzeby przedłużone) spotykają się w trzech punktach leżących na linii prostej, zwanej linią Pascala sześciokąta. Odwrócenie to jest również prawdziwe: twierdzenie Braikenridge’a-Maclaurina mówi, że jeżeli trzy punkty przecięcia trzech par linii przez przeciwległe strony sześciokąta leżą na linii, to sześć wierzchołków sześciokąta leży na stożku, który może być zdegenerowany jak w twierdzeniu Pappusa o sześciokącie.

Odcinki stożkowe

Zgodnie z twierdzeniem Monge’a, dla każdego z trzech kręgów na płaszczyźnie, z których żaden nie znajduje się całkowicie wewnątrz jednego z pozostałych, trzy punkty przecięcia trzech par linii, z których każda z zewnątrz jest styczna do dwóch kręgów, są współliniowe.

W elipsie środek, dwa ogniska i dwa wierzchołki o najmniejszym promieniu krzywizny są współliniowe, a środek i dwa wierzchołki o największym promieniu krzywizny są współliniowe.

W hiperboli, środek, dwa ogniska i dwa wierzchołki są współliniowe.

Szyszki

Środek masy bryły stożkowej o jednolitej gęstości leży w jednej czwartej drogi od środka podstawy do wierzchołka, na linii prostej łączącej te dwie bryły.

Czworościany

Centroid czworościanu jest punktem środkowym pomiędzy jego punktem Monge’a i obwodem. Punkty te określają linię Eulera czworościanu, która jest analogiczna do linii Eulera trójkąta. Środek dwunastościennej kuli znajduje się również na linii Eulera.