Oryginalne przypuszczenie Goldbacha (czasami nazywane “trójdzielnym” przypuszczeniem Goldbacha), napisane w liście do Eulera z 7 czerwca 1742 roku, stwierdza “przynajmniej wydaje się, że każda liczba większa niż 2 jest sumą trzech pierwiastków” (Goldbach 1742; Dickson 2005, s. 421). Zauważ, że Goldbach uważał liczbę 1 za pierwiastek, za pokaz, który nigdy więcej nie jest kontynuowany. Jak ponownie zgłosił Euler, równy rodzaj tego zgadywania (zwany zgadywaniem “stałym” lub “podwójnym” Goldbach’a) potwierdza, że wszystkie dodatnie liczby parzyste >=4 mogą być przekazywane jako całość dwóch pierwiastków. Dwa pierwiastki (p,q) z celem końcowym, że p+q=2n dla n dodatniej liczby całkowitej są teraz i wtedy nazywane segmentem Goldbacha (Oliveira e Silva).

Jak wskazał Hardy (1999, s. 19), “Prawie łatwo jest składać mądre obietnice; bez wątpienia istnieją hipotezy, podobne do ‘Twierdzenia Goldbacha’, które nigdy nie zostały zademonstrowane i które można było spekulować za pomocą jakiejkolwiek sztuczki”. Faber i Faber zaoferowali nagrodę w wysokości 1000000 dolarów każdej osobie, która zademonstrowała zgadywankę Goldbacha w okresie od 20 marca 2000 do 20 marca 2002 roku, jednak nagroda nie została odebrana i zgadywanka pozostaje otwarta.

Schnirelman (1939) pokazał, że każda znacząca liczba może być skomponowana jako całość z nie więcej niż 300000 primesów (Dunham 1990), co wydaje się być dość odległe od dowodu na dwie primesy! Pogorzelski (1977) wyznał, że wykazał się domysłem Goldbacha, jednak jego weryfikacja nie jest powszechnie uznawana (Shanks 1985). Towarzysząca mu tabela abridge ogranicza n z celem końcowym, że solidny zgadywanka Goldbacha została wykazana jako ważna dla liczb <n.

odnośnik związany

1×10^4 Desboves 1885

1×10^5 Orurowanie 1938

1×10^8 Stein i Stein 1965ab

2×10^(10) Granville et al. 1989

4×10^(11) Sinisalo 1993

1×10^(14) Deshouillers et al. 1998

4×10^(14) Richstein 1999, 2001

2×10^(16) Oliveira e Silva (Mar. 24, 2003)

6×10^(16) Oliveira e Silva (3 października 2003 r.)

2×10^(17) Oliveira e Silva (5 lutego 2005 r.)

3×10^(17) Oliveira e Silva (Dec. 30, 2005)

12×10^(17) Oliveira e Silva (14 lipca 2008 r.)

4×10^(18) Oliveira e Silva (kwiecień 2012 r.)

Zgadywanie, że wszystkie liczby nieparzyste >=9 są sumą trzech nieparzystych pierwiastków jest znane jako “słabe” zgadywanie Goldbacha. Vinogradov (1937ab, 1954) wykazał, że każda odpowiednio duża liczba nieparzysta jest sumą trzech primes (Nagell 1951, s. 66; Guy 1994), a Estermann (1938) wykazał, że praktycznie wszystkie liczby parzyste są sumą dwóch primes. Unikatowy “odpowiednio duży” N>=3^(3^(15)) ok. e^(e^(16.573)) ok. 3,25×10^(6846168) Vinogradova został więc zmniejszony do e^(e^(11.503)) ok. 3,33×10^(43000) przez Chena i Wanga (1989). Chen (1973, 1978) podobnie wykazał, że wszystkie odpowiednio ogromne liczby parzyste są całością liczby pierwszej i wynikiem wszystkich rzeczy uznawanych za dwa pierwiastki (Guy 1994, Courant i Robbins 1996). Ponad dwa wieki po wyrażeniu pierwszego zgadywania, wątłe zgadywanie Goldbacha zostało zademonstrowane przez Helfgotta (2013, 2014).

Bardziej ugruntowany wariant kruchego zgadywania, w szczególności to, że każda liczba nieparzysta >=7 może być przekazana jako suma liczby pierwszej i drugiej liczby pierwszej i drugiej jest znany jako zgadywanie Levy’ego.

Równym wytłumaczeniem zgadywania Goldbach’a jest to, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej m, istnieją pierwiastki p i q z celem końcowym, który

 R(n)∼2Pi_2product_(k=2; p_k|n)(p_k-1)/(p_k-2)int_2^n(dx)/((lnx)^2),

gdzie Pi_2 jest stałą podwójną primes (Halberstam i Richert 1974).