Kiedy rzucasz monetą, są dwa możliwe wyniki: łby i ogony. Każdy wynik ma stałe prawdopodobieństwo, takie samo od testu do testu. W przypadku monet, łby i ogony mają takie samo prawdopodobieństwo na poziomie 1/2. Bardziej ogólnie rzecz biorąc, istnieją sytuacje, w których moneta jest stronnicza, tak że łby i ogony mają różne prawdopodobieństwa. W tej części rozważamy rozkłady prawdopodobieństwa, dla których istnieją tylko dwa możliwe wyniki o stałym prawdopodobieństwie dodane do jednego. Rozkłady te nazywane są rozkładami dwumianowymi.

Prosty przykład

Cztery możliwe wyniki, które mogą wystąpić w przypadku dwukrotnego rzucenia monetą, są wymienione w tabeli 1. Zwróć uwagę, że cztery wyniki są równie prawdopodobne: każdy z nich ma prawdopodobieństwo 1/4. Aby to zobaczyć, należy pamiętać, że rzuty monetą są niezależne (żaden z nich nie wpływa na drugi). Tak więc prawdopodobieństwo głowy w rzucie 1 i głowy w rzucie 2 jest iloczynem P(H) i P(H), które wynosi 1/2 x 1/2 = 1/4. Obliczenie to odnosi się do prawdopodobieństwa głowy na flipie 1 i ogona na flipie 2. Każde z nich wynosi 1/2 x 1/2 = 1/4.

Tabela 1. Cztery możliwe wyniki.

Wyniki.

Outcome First Flip Second Flip
1 Heads Heads
2 Heads Tails
3 Tails Heads
4 Tails Tails

Wynik Pierwszy rzut drugi
1 Głowice Głowice
2 Głowy Ogony
3 Ogony Głowy
4 Ogony Ogony

Pierwszy rzut Pierwszy rzut Pierwszy rzut Drugi rzut Wynik

1 Głowice Głowice

2 Głowice ogonowe

3 Ogony

4 kolejki

Cztery możliwe wyniki można sklasyfikować w zależności od liczby pojawiających się głów. Liczba ta może wynosić dwa (wynik 1), jeden (wyniki 2 i 3) lub 0 (wynik 4). Prawdopodobieństwa tych możliwości są przedstawione w tabeli 2 i na rysunku 1. Ponieważ dwa z wyników przedstawiają przypadek, w którym w dwóch rzutach pojawia się tylko jedna głowa, prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 1/4 + 1/4 = 1/2. Tabela 2 podsumowuje sytuację.

Tabela 2. Prawdopodobieństwo uzyskania 0, 1 lub 2 główek.

Uzyskanie 0, 1 lub 2 główek.

Number of Heads Probability
0 1/4
1 1/2
2 1/4

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial1.jpg

Liczba główek Prawdopodobieństwo
0 1/4
1 1/2
2 1/4

Prawdopodobieństwo liczby głowic

0 1/4

1 1/2

2 1/4

Rysunek 1. Prawdopodobieństwo 0, 1 i 2 główek.

Rysunek 1 przedstawia dyskretny rozkład prawdopodobieństwa: przedstawia prawdopodobieństwo dla każdej z wartości na osi X. Definiując głowę jako “sukces”, rysunek 1 pokazuje prawdopodobieństwo 0, 1 i 2 sukcesów dla dwóch testów (salta) dla zdarzenia, które ma prawdopodobieństwo 0,5 sukcesu w każdym teście. Rysunek 1 jest przykładem rozkładu dwumianowego.

Wzór na dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial_formula.gif

Dwumianowy rozkład składa się z prawdopodobieństwa wystąpienia każdej z możliwych liczb powodzenia w testach N dla niezależnych zdarzeń, z których każde ma prawdopodobieństwo wystąpienia π (grecka litera pi). Dla przykładu rzutu monetą, N = 2 i π = 0,5. Wzór na rozkład dwumianowy jest przedstawiony poniżej:

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial2.gif

gdzie P(x) jest prawdopodobieństwem x sukcesów N prób, N jest liczbą prób, a π jest prawdopodobieństwem sukcesu danej próby. Stosując to do przykładu rzutu monetą,

Jeśli rzucisz monetą dwa razy, jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania jednej lub więcej głów? Ponieważ prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednej głowy wynosi 0,50, a prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch głów wynosi 0,25, prawdopodobieństwo otrzymania jednej lub więcej głów wynosi 0,50 + 0,25 = 0,75.

Teraz załóżmy, że moneta jest stronnicza. Prawdopodobieństwo otrzymania jednej lub więcej głów wynosi tylko 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania głów co najmniej raz na dwa salta? Zastępując powyższy wzór ogólny, należy uzyskać odpowiedź .64.

Prawdopodobieństwa skumulowane

Rzucamy monetą 12 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania od 0 do 3 głów? Odpowiedź znajdujemy obliczając prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 0 główek, dokładnie 1 główka, dokładnie 2 główki i dokładnie 3 główki. Prawdopodobieństwo otrzymania od 0 do 3 głów jest wtedy sum¡ tych prawdopodobie±stw. Prawdopodobie “stwo jest: 0,0002, 0,0029, 0,0161 i 0,0537. Suma prawdopodobieństw wynosi 0,073. Obliczanie skumulowanych prawdopodobieństw dwumianowych może być dość nudne. Z tego powodu udostępniliśmy kalkulator dwumianowy, aby ułatwić obliczenie tych prawdopodobieństw.

Średnie i standardowe odchylenie rozkładów dwumianowych

Rozważmy eksperyment z rzucaniem monetą, w którym rzucasz monetą 12 razy i zapisujesz liczbę głów. Jeśli przeprowadzisz ten eksperyment w kółko, to jaka będzie średnia liczba głów? Przeciętnie, spodziewałbyś się, że połowa rzutów monetą będzie miała głowy. Więc średnia liczba głowic wynosiłaby 6. Ogólnie rzecz biorąc, średnia rozkładu dwumianowego z parametrami N (liczba testów) i π (prawdopodobieństwo powodzenia każdego testu) jest średnia:

μ = Nπ

gdzie μ jest średnią rozkładu dwumianowego. Odchylenie rozkładu dwumianowego jest:

σ2 = Nπ(1-π)

gdzie σ2 jest różnicą rozkładu dwumianowego.

Wróćmy do eksperymentu z wyrzucaniem monet. Moneta została rzucona 12 razy, więc N = 12. Moneta ma 0,5 szansy na dojście do skutku. Więc, π = 0,5. Średnią i wariancję można wtedy obliczyć w następujący sposób:

μ = Nπ = (12)(0.5) = 6

σ2 = Nπ(1-π) = (12)(0.5)(1.0 – 0.5) = 3.0.

Oczywiście odchylenie standardowe (σ) jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji (σ2).