Permutacja, zwana również “numerem porządkowym” lub “zamówieniem”, może być przekształceniem pogody zamówionej listy S w korespondencję indywidualną z samym S. Ilość permutacji na grupie n elementów jest podawana przez n! (n factorial; Uspensky 1937, s. 18). na przykład, są 2!=2-1=2 permutacje {1,2}, czyli {1,2} i {2,1}, oraz 3!=3-2-1=6 permutacji {1,2,3}, czyli {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2} i {3,2,1}. Permutacje inwentaryzacji często znajdują się w Wolfram Language przy pomocy polecenia PermutationListQ[lista]. inwentaryzacja o długości n jest często sprawdzana w celu stwierdzenia, czy jest to permutacja 1, …, n w Wolfram Language przy pomocy polecenia PermutationListQ[lista].

Sedgewick (1977) podsumowuje różne algorytmy do generowania permutacji i identyfikuje algorytm minimalnej zmiany permutacji Heap (1963) jako ogólnie najszybszy (Skiena 1990, s. 10). Inna metoda wyliczania permutacji została podana przez Johnsona (1963; Séroul 2000, s. 213-218).

Liczbę sposobów uzyskania uporządkowanego podzbioru k elementów z grupy n elementów podano przez

_nP_k=(n!)/((n-k)!)

(1)

(Uspensky 1937, s. 18), gdzie n! może być czynnikiem. na przykład, są 4!/2!=12 2-subsety {1,2,3,4}, a mianowicie {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,1}, {2,3}, {2,4}, {3,1}, {3,2}, {3,4}, {4,1}, {4,2}, i {4,3}. Niezamówione podzestawy zawierające k elementów są określane jako k-zestawy danego zestawu.

Przedstawienie permutacji jako iloczynu cykli permutacyjnych jest wyłączne (do momentu uporządkowania cykli). Przykładem rozkładu cyklicznego jest to, że permutacja {4,2,1,3} z {1,2,3,4}. jest to często oznaczane (2)(143), podobnie jak disjoint cykli permutacji (2) i (143). istnieje duża swoboda w doborze reprezentacji rozkładu cyklicznego, ponieważ (1) cykle są disjoint i dlatego mogą być ułożone w dowolnej kolejności i (2) każdy obrót danego cyklu określa cykl równoważny (Skiena 1990, s. 20). Zatem (431)(2), (314)(2), (143)(2), (2)(431), (2)(314) i (2)(143) wszystkie opisują równoważną permutację.

Inna notacja, która wyraźnie określa pozycje zajmowane przez elementy przed i po zastosowaniu permutacji na n elementach, używa macierzy 2×n, gdzie główny wiersz jest (123…n), a zatem drugi wiersz jest taki, że nowy układ. na przykład permutacja, która przełącza elementy 1 oraz parę i poprawki 3 byłaby napisana jako

[1 2 3; 2 1 3].

(2)

Każda permutacja jest dodatkowo produktem transpozycji. Korespondencja między permutacją a parą Young tableaux, zwaną korespondencją Schensted, jest często określana w porządku leksykograficznym lub transpozycyjnym.

Liczba błędnych permutacji n obiektów wynosi [n!/e], gdzie [x] jest najbliższą funkcją liczby całkowitej. Permutacja n uporządkowanych obiektów, podczas której żaden obiekt nie znajduje się w swoim naturalnym miejscu, nazywana jest obłąkaniem (lub czasami całą permutacją) i dlatego liczba takich permutacji jest podwskaźnikiem !n.

Przy pomocy .

(x+y)^n=sum_(r=0)^n(n; r)x^(n-r)y^r

(3)

z x=y=1 daje

2^n=sum_(r=0)^n(n; r),

(4)

więc numer sposobu wyboru 0, 1, … lub n na raz wynosi 2^n.

Zbiór wszystkich permutacji grupy elementów 1, …, n jest często uzyskiwany przy użyciu kolejnej procedury rekurencyjnej

1 2; / ; 2 1

(5)

1 2 3; / ; 1 3 2 ; / ; 3 1 2 ; | ; 3 2 1 ; \ ; 2 3 1 ; \ ; 2 1 3

(6)

Należy rozważyć permutacje, podczas których nie występuje para następujących po sobie elementów (tj. dziedziczenie w górę lub w dół). Dla n=1, 2, … elementów, liczby takich permutacji wynoszą 1, 0, 0, 2, 14, 90, 646, 5242, 47622, … (OEIS A002464).

Zbiór liczb całkowitych 1, 2, …, N powinien być permutowany, a zatem otrzymany ciąg powinien być podzielony na rosnące przebiegi. Oznacza typową długość n-tego przebiegu, gdy N zbliża się do nieskończoności, L_n. Kilka podstawowych wartości jest podsumowanych w poniższej tabeli, gdzie e jest podstawą logarytmu napierskiego (Le Lionnais 1983, s. 41-42; Knuth 1998).

n L_n OEIS przybliżone

1 e-1 A091131 1.7182818…

2 e^2-2e A091132 1.9524…

3 e^3-3e^2+3/2e A091133 1.9957…