Coursera Learner working on a presentation with Coursera logo and

Co to są liczby pierwsze?

Coursera Learner working on a presentation with Coursera logo and

Liczba pierwsza nie ma żadnego innego czynnika oprócz jednego i samej siebie. Te liczby całkowite są większe niż jeden. Czynnik jest liczbą całkowitą, którą można dzielić z innymi liczbami po równo. Lista liczb pierwszych obejmuje 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 i tak dalej. Zaczynając od 1, jest tylko 25 liczb pierwszych do 100. Gdy liczba całkowita ma więcej czynników niż dwa, można je nazwać liczbami złożonymi. Nie będziemy uważać jedynki za liczbę złożoną lub pierwszą. Innymi słowy, możesz podzielić liczbę pierwszą tylko przez jeden i samą siebie bez reszty. Na przykład, można tylko podzielić 17 przez jeden i przez 17.

Kilka ważnych faktów o liczbach pierwszych

  • 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Możesz podzielić wszystkie inne liczby parzyste przez 2.
  • Możesz podzielić liczbę przez 3, jeśli suma liczb jest wielokrotnością 3
  • Nie ma żadnej liczby pierwszej, która jest większa niż 5 i nie ma ostatniej cyfry jako 5 – Możesz podzielić każdą liczbę z 5, która kończy się na 5
  • Nie można uznać zera i jedynki za liczbę pierwszą
  • Każda liczba jest złożona lub jest liczbą pierwszą, z wyjątkiem zera i jedynki: Oznacza to, że każda liczba, która nie jest liczbą złożoną, jest liczbą pierwszą i odwrotnie
    Jeśli chcesz udowodnić, że dana liczba jest liczbą pierwszą, musisz podzielić ją przez 2. Więc jeśli wynik jest liczbą całkowitą, nie jest liczbą pierwszą. Natomiast jeśli liczba nie jest liczbą całkowitą, to można ją podzielić przez inne liczby pierwsze, takie jak 3, 5, 7, 11, i tak dalej.

Określenie, czy liczba jest liczbą pierwszą

Możesz użyć komputera, aby dowiedzieć się, czy duża liczba jest pierwsza, czy nie. Ponieważ nie ma ograniczeń co do tego, jak duża liczba może być, udowadniając ogromne liczby jako prime jest żmudne zadanie. Nawet jeśli używasz superkomputera, ograniczenia są nieskończone. Na przykład, największa liczba, o której wiemy, że jest liczbą pierwszą, jak dotąd, ma 24 862 048 cyfr.
Eksperci próbują sformułować różne algorytmy, aby znaleźć sposób na znalezienie nawet największych liczb pierwszych. Na przykład, rozważmy “n” jako liczbę całkowitą, ale nie wiemy, czy jest to liczba złożona czy liczba pierwsza. Aby dowiedzieć się, czy jest to liczba pierwsza, weźmiemy ½ jako potęgę “n” lub weźmiemy jej pierwiastek kwadratowy. Teraz możemy zaokrąglić tę liczbę do następnej największej liczby i oznaczyć ją przez “m”. Możemy znaleźć te ilorazy:
qm = n / m
q(m-1) = n / (m-1)
q(m-2) = n / (m-2)
q(m-3) = n / (m-3). . .
q3 = n / 3
q2 = n / 2
Wynika z tego, że “n” jest liczbą pierwszą, jeśli q jest powyższą pochodną.

Liczby pierwsze Mersenne’a i Fermata

Liczba pierwsza Mersenne’a to liczba, którą można sprowadzić do 2 n – 1. W tej postaci, “n” jest liczbą pierwszą. Oto niektóre z pierwszych znanych wartości “n”, które mogą dać liczby pierwsze Mersenne’a:
n = 2, n = 3, n = 5, n = 7, n = 13, n = 17, n = 19, n = 31, n = 61, oraz n = 89.
Natomiast liczba pierwsza Fermata jest liczbą pierwszą i liczbą Fermata. Liczba Fermata Fn ma postać 2m + 1. W tej postaci m jest potęgą 2. Oznacza to, że m = 2n. Ponadto, n w tej postaci jest liczbą całkowitą.

Liczby pierwsze i kryptografia

Szyfrowanie zawsze będzie zawierało regułę fundamentalną. Obejmuje ona:

  • Algorytm
  • Właściwą procedurę
    Oba te składniki nie mają żadnych tajemnic, ale klucz tak. Możesz użyć liczb pierwszych do stworzenia różnych kluczy. Na przykład, powodem, dla którego szyfrowanie kluczem publicznym/prywatnym jest niezbędne jest to, że można łatwo obliczyć iloczyny wybierając dwie losowe liczby pierwsze. Chociaż znalezienie dwóch różnych liczb pierwszych i stworzenie większego produktu będzie dla Ciebie wyzwaniem i będzie czasochłonne. Powodem, dla którego może to być trudne, jest to, że znasz tylko produkt.
    Możesz wziąć popularny przykład kryptografii z kluczem publicznym w Rivest-Shamir-Adleman lub RSA. Stwierdza to, że zawsze znajdziesz liczby pierwsze jako unikalne. Liczne aplikacje używają liczb pierwszych przez Digital Signature Standard (DSS) i Diffie-Hellmena.

Czy 258000 jest liczbą pierwszą?

Nie, 258000 nie jest liczbą pierwszą, ale jest to liczba złożona. Możesz napisać 258000 jako iloczyn czynników pierwszych. Oto czynniki pierwsze:
258000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 x 5 x 43
Jeśli przekonwertujesz to na notację wykładniczą, zapiszesz to jako:
258000 = 24 × 3 × 53 × 43

Wniosek

Istnieje wiele historycznych pytań dotyczących liczb pierwszych, które należy jeszcze rozwiązać. Na przykład, przypuszczenie Goldbacha oznacza, że można wyrazić każdą liczbę parzystą większą od 2 jako sumę dwóch liczb pierwszych. Co więcej, mówi ono, że można utworzyć nieskończenie wiele par liczb pierwszych, dodając jedną liczbę parzystą pomiędzy nimi. Tego typu pytania zachęcają matematyków do dalszych postępów w dziedzinie teorii liczb. Możesz użyć prymitywów do różnych zadań informatycznych.