Mnożniki Lagrange’a, zwane również mnożnikami Lagrangian (np, Arfken 1985, s. 945), często nie odnajdują ekstremum wielowymiarowej funkcji f(x_1,x_2,…,x_n) podlegającej ograniczeniu g(x_1,x_2,… , x_n)=0, gdzie f i g są funkcjami z ciągłymi pierwszymi cząstkowymi pochodnymi na otwartym zbiorze zawierającym krzywą g(x_1,x_2,…,x_n)=0, a del g!=0 w dowolnym punkcie krzywej (gdzie del jest tym gradientem).

LagrangeMultipliers

LagrangeMultipliers

Aby na g istniało ekstremum f, gradient f musi się pokrywać z gradientem g. W ramach powyższego rysunku f jest przedstawione w kolorze czerwonym, g w niebieskim, a zatem przecięcie f i g jest przedstawione w kolorze jasnoniebieskim. Gradient może być wektorem poziomym (tzn. nie jest składową z), który wskazuje kierunek wzrostu funkcji; dla g jest on prostopadły do krzywej, która w tym przypadku może być linią. Jeśli te 2 gradienty znajdują się w tym samym kierunku, to może to być wielokrotność (-lambda) przeciwnym , więc

 del f=-lambdadel g.

Te dwa wektory są równe, więc wszystkie ich składniki są również , dając

 (partialf)/(partialx_k)+lambda(partialg)/(partialx_k)=0

dla wszystkich k=1, …, n, gdzie stała lambda nazywana jest mnożnikiem Lagrange’a.

Ekstremum znajduje się wtedy przez rozwiązanie równań n+1 w n+1 niewiadomych, które jest uzupełniane bez odwracania g, dlatego też mnożniki Lagrange’a są często tak użyteczne.

Dla wielu ograniczeń g_1=0, g_2=0, …,

 del f+lambda_1del g_1+lambda_2del g_2+...=0.