Zrozumieć matematykę ciągłych zmian.
Rachunek jest matematycznym badaniem rzeczy, które się zmieniają: samochody przyspieszające, planety poruszające się wokół Słońca, gospodarki zmieniające się. Aby myśleć o tych zmieniających się wielkościach, w XVII wieku stworzono inny układ aparatów – analitykę – zawsze dostosowując przebieg matematyki i nauki.
Analityka funkcjonalna to doświadczenie, którego potrzebuje każdy tęskniący badacz, specjalista czy matematyk.
Ograniczenia do nieskończoności
Czasami nie rozpracujemy czegoś bezpośrednio… ale zobaczymy, co to ma być, jak się spotkamy i bliżej!
Przykład:
(x2 – 1)(x – 1)
Rozpracujmy to dla x=1:
Teraz 0/0 może być trudnością! tak naprawdę nie znamy wartości 0/0 (jest “nieokreślona”), więc chcielibyśmy inaczej na to odpowiedzieć.
Więc zamiast próbować rozgryźć to dla x=1 spróbujmy zbliżać się do tego coraz bliżej:
Przykład Kontynuowany:
x (x2 – 1)(x – 1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
… …
Teraz widzimy, że jak x dostanie się na skraju 1, to (x2-1)(x-1) dostanie się na skraju 2
Mamy teraz do czynienia z sytuacją stymulującą:
Kiedy x=1 nie znamy rozwiązania (jest ono nieokreślone)
Ale zobaczymy, że zaczyna być 2
Chcemy zaoferować rozwiązanie “2”, ale nie możemy, więc zamiast tego matematycy mówią dokładnie, co się dzieje, używając specjalnego słowa “limit”.
Granica (x2-1)(x-1) przy zbliżaniu się x do 1 wynosi 2
I jest napisane w symbolach jak:
limx→1 x2-1x-1 = 2
Jest to więc specjalny sposób na stwierdzenie, “ignorując to, co się dzieje, gdy już tam dotrzemy, ale gdy spotykamy się z coraz bliżej, rozwiązanie staje się coraz bliższe 2”.
Jak na wykresie, to tak:
Więc, prawdę mówiąc, nie możemy powiedzieć co jest warte w x=1.
Ale powiemy, że gdy zbliżamy się do 1, granica wynosi 2.
To tak, jakby wbiegać na wzgórze, a potem znaleźć szlak jest magicznie “nie tam”…
…ale jeśli sprawdzimy tylko jedną stronę, to kto wie, co się dzieje?
Więc sprawdzimy go z obu stron, żeby się upewnić, gdzie “powinien być”!
Przykład Kontynuowany
Więc, spróbujmy z drugiej strony:
x (x2 – 1)(x – 1)
1.5 2.50000
1.1 2.10000
1.01 2.01000
1.001 2.00100
1.0001 2.00010
1.00001 2.00001
… …
Idziemy też we dwójkę, więc to jest OK.
Szybkie podsumowanie limitów
Czasami nie rozpracujemy czegoś bezpośrednio… ale zobaczymy, co to ma być, jak się spotkamy i bliżej!
Przykład:
(x2 – 1)(x – 1)
Rozpracujmy to dla x=1:
Teraz 0/0 może być trudnością! tak naprawdę nie znamy wartości 0/0 (jest “nieokreślona”), więc chcielibyśmy inaczej na to odpowiedzieć.
Więc zamiast próbować rozgryźć to dla x=1 spróbujmy zbliżać się do tego coraz bliżej:
Przykład Kontynuowany:
x (x2 – 1)(x – 1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
… …
Teraz widzimy, że jak x dostanie się na skraju 1, to (x2-1)(x-1) dostanie się na skraju 2
Mamy teraz do czynienia z sytuacją stymulującą:
Kiedy x=1 nie znamy rozwiązania (jest ono nieokreślone)
Ale zobaczymy, że zaczyna być 2
Chcemy zaoferować rozwiązanie “2”, ale nie możemy, więc zamiast tego matematycy mówią dokładnie, co się dzieje, używając specjalnego słowa “limit”.
Granica (x2-1)(x-1) przy zbliżaniu się x do 1 wynosi 2
I jest napisane w symbolach jak:
limx→1 x2-1x-1 = 2
Jest to więc specjalny sposób na stwierdzenie, “ignorując to, co się dzieje, gdy już tam dotrzemy, ale gdy spotykamy się z coraz bliżej, rozwiązanie staje się coraz bliższe 2”
Jak na wykresie, to tak:
Więc, prawdę mówiąc, nie możemy powiedzieć co jest warte w x=1.
Ale powiemy, że gdy zbliżamy się do 1, granica wynosi 2.
