Zrozumieć matematykę ciągłych zmian.

Rachunek jest matematycznym badaniem rzeczy, które się zmieniają: samochody przyspieszające, planety poruszające się wokół Słońca, gospodarki zmieniające się. Aby myśleć o tych zmieniających się wielkościach, w XVII wieku stworzono inny układ aparatów – analitykę – zawsze dostosowując przebieg matematyki i nauki.

Analityka funkcjonalna to doświadczenie, którego potrzebuje każdy tęskniący badacz, specjalista czy matematyk.

Ograniczenia do nieskończoności

Czasami nie rozpracujemy czegoś bezpośrednio… ale zobaczymy, co to ma być, jak się spotkamy i bliżej!

Przykład:

(x2 – 1)(x – 1)

Rozpracujmy to dla x=1:

Teraz 0/0 może być trudnością! tak naprawdę nie znamy wartości 0/0 (jest “nieokreślona”), więc chcielibyśmy inaczej na to odpowiedzieć.

Więc zamiast próbować rozgryźć to dla x=1 spróbujmy zbliżać się do tego coraz bliżej:

Przykład Kontynuowany:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Teraz widzimy, że jak x dostanie się na skraju 1, to (x2-1)(x-1) dostanie się na skraju 2

Mamy teraz do czynienia z sytuacją stymulującą:

Kiedy x=1 nie znamy rozwiązania (jest ono nieokreślone)

Ale zobaczymy, że zaczyna być 2

Chcemy zaoferować rozwiązanie “2”, ale nie możemy, więc zamiast tego matematycy mówią dokładnie, co się dzieje, używając specjalnego słowa “limit”.

Granica (x2-1)(x-1) przy zbliżaniu się x do 1 wynosi 2

I jest napisane w symbolach jak:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Jest to więc specjalny sposób na stwierdzenie, “ignorując to, co się dzieje, gdy już tam dotrzemy, ale gdy spotykamy się z coraz bliżej, rozwiązanie staje się coraz bliższe 2”.

Jak na wykresie, to tak:

Więc, prawdę mówiąc, nie możemy powiedzieć co jest warte w x=1.

Ale powiemy, że gdy zbliżamy się do 1, granica wynosi 2.

To tak, jakby wbiegać na wzgórze, a potem znaleźć szlak jest magicznie “nie tam”…

…ale jeśli sprawdzimy tylko jedną stronę, to kto wie, co się dzieje?

Więc sprawdzimy go z obu stron, żeby się upewnić, gdzie “powinien być”!

Przykład Kontynuowany

Więc, spróbujmy z drugiej strony:

x (x2 – 1)(x – 1)

1.5 2.50000

1.1 2.10000

1.01 2.01000

1.001 2.00100

1.0001 2.00010

1.00001 2.00001

… …

Idziemy też we dwójkę, więc to jest OK.

Szybkie podsumowanie limitów

Czasami nie rozpracujemy czegoś bezpośrednio… ale zobaczymy, co to ma być, jak się spotkamy i bliżej!

Przykład:

(x2 – 1)(x – 1)

Rozpracujmy to dla x=1:

Teraz 0/0 może być trudnością! tak naprawdę nie znamy wartości 0/0 (jest “nieokreślona”), więc chcielibyśmy inaczej na to odpowiedzieć.

Więc zamiast próbować rozgryźć to dla x=1 spróbujmy zbliżać się do tego coraz bliżej:

Przykład Kontynuowany:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Teraz widzimy, że jak x dostanie się na skraju 1, to (x2-1)(x-1) dostanie się na skraju 2

Mamy teraz do czynienia z sytuacją stymulującą:

Kiedy x=1 nie znamy rozwiązania (jest ono nieokreślone)

Ale zobaczymy, że zaczyna być 2

Chcemy zaoferować rozwiązanie “2”, ale nie możemy, więc zamiast tego matematycy mówią dokładnie, co się dzieje, używając specjalnego słowa “limit”.

Granica (x2-1)(x-1) przy zbliżaniu się x do 1 wynosi 2

I jest napisane w symbolach jak:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Jest to więc specjalny sposób na stwierdzenie, “ignorując to, co się dzieje, gdy już tam dotrzemy, ale gdy spotykamy się z coraz bliżej, rozwiązanie staje się coraz bliższe 2”

Jak na wykresie, to tak:

Więc, prawdę mówiąc, nie możemy powiedzieć co jest warte w x=1.

Ale powiemy, że gdy zbliżamy się do 1, granica wynosi 2.