N×n złożona matryca A jest nazywana pozytywną konkretną, jeśli

R[x^*Ax]>0

(1)

dla wszystkich niezerowo złożonych wektorów x w C^n, gdzie x^* oznacza koniugatową transpozycję wektora x. w przypadku prawdziwej macierzy A, równanie (1) zmniejsza się do

x^(T)Ax>0,

(2)

gdzie x^(T) oznacza transpozycję. Pozytywne określone macierze mają znaczenie zarówno teoretyczne, jak i obliczeniowe w wielu różnych zastosowaniach. Są one wykorzystywane na przykład w algorytmach optymalizacyjnych oraz w budowie różnych modeli regresji prostoliniowej (Johnson 1970).

Liniowy układ równań o dodatniej zdefiniowanej macierzy jest często skutecznie rozwiązywany za pomocą tzw. dekompozycji Choleskiego. Dodatnia zdefiniowana macierz ma minimum jeden korzeń macierzowy . Co więcej, dokładnie jeden z jej pierwiastków kwadratowych z macierzy sam w sobie jest dodatnio-określony.

Niezbędnym i wystarczającym warunkiem, aby pozytywna matryca A była pozytywna, jest to, że część pustelnicza

A_H=1/2(A+A^(H))),

(3)

gdzie A^(H) oznacza transpozycję koniugatu, być dodatnia określona. sugeruje to, że prawdziwa macierz A jest dodatnia określona w części symetrycznej.

A_S=1/2(A+A^(T))),

(4)

gdzie A^(T) jest tym, że transpozycja, jest definitywna (Johnson 1970).

Mylące jest to, że dyskusja na temat pozytywnych matryc ostatecznych jest zwykle ograniczona tylko do matryc pustelniczych, lub symetrycznych w przypadku matryc rzeczywistych (Pease 1965, Johnson 1970, Marcus i Minc 1988, s. 182; Marcus i Minc 1992, s. 69; Golub i Van Loan 1996, s. 140). Matryca hermetyczna (lub symetryczna) jest dodatnia, jeśli wszystkie jej wartości własne są dodatnie. W związku z tym, ogólna złożona (odpowiednio rzeczywista) macierz jest dodatnia, jeżeli jej hermetyczna (lub symetryczna) część ma wszystkie dodatnie wartości własne.

Determinant pozytywnej ostatecznej macierzy jest zazwyczaj dodatni, więc pozytywna ostateczna macierz jest zazwyczaj nieistotna.

Jeżeli A i B są dodatnie, to tak samo jest A+B. Odwrotność pewnej pozytywnej macierzy jest dodatkowo pozytywna konkretna.

Definicja definitywnej pozytywnej macierzy jest jak potrzeba, aby determinanty odnoszące się do wszystkich submatrykatów górnych lewicowych były pozytywne.

Następujące są konieczne (lecz niewystarczające) warunki, aby Hermitowska matryca A (która z definicji posiada rzeczywiste elementy przekątne a_(ii)) była pozytywna definitywna.

1. a_(ii)>0 dla wszystkich i,

2. a_(ii)+a_(jj)>2|R[a_(ij)]|dla i!=j,

3. Element o największym module leży na najbardziej przekątnej,

4. det(A)>0.

Tutaj R[z] jest tym, że rzeczywista część z, a literówka w Gradshteyn i Ryzhik (2000, s. 1063) została poprawiona w punkcie (ii).

Rzeczywista matryca symetryczna A jest dodatnia iffi istnieje rzeczywista matryca kwadratowa M taka

A=MM^(T),

(5)

gdzie M^(T) jest tym, że transpozycja (Ayres 1962, s. 134). szczególnie , 2×2 matryca symetryczna

[a b; b c]

(6)

jest konkretny, jeśli

av_1^2+2bv_1v_2+cv_2^2>0

(7)

dla wszystkich v=(v_1,v_2)!=0.

Liczby dodatnich macierzy zdefiniowanych n×n danych typów są podsumowane w poniższej tabeli. Dla przykładu, trzy matryce definiowane dodatnio 2×2 (0,1)- są to

[1 0; 0 1],[1 0; 1 1],[1 1; 0 1],

(8)

z których wszystkie mają wartość własną 1 z degeneracją dwóch.

matryca typu OEIS liczy się

(0,1)-matryca A085656 1, 3, 27, 681, 43369, …

(-1,0,1)-matryca A086215 1, 7, 311, 79505, …