Prawo fenomenologiczne nazywane jest również pierwotnym prawem cyfrowym, zjawiskiem pierwszej cyfry, czyli wiodącym zjawiskiem cyfrowym. Prawo Benforda stanowi, że w zestawieniach, tabelach statystycznych itp., cyfra 1 ma tendencję do występowania z prawdopodobieństwem ok. 30%, czyli znacznie większym niż oczekiwane 11,1% (tj. jedna cyfra na 9). Prawo Benforda jest często przestrzegane, jako przykład, poprzez analizę tabel logarytmów i zauważenie, że strony podstawowe są znacznie bardziej zużyte i rozmazane niż późniejsze (Newcomb 1881). Podczas gdy prawo Benforda bezsprzecznie odnosi się do kilku sytuacji na świecie, zadowalające wyjaśnienie zostało podane dopiero niedawno w pracy Hill (1998).

Prawo Benforda zostało wykorzystane przez postać Charliego Eppesa jako analogia, aby pomóc w rozwiązaniu serii dużych włamań w ramach odcinka Sezon 2 “The Running Man” (2006) telewizyjnego dramatu kryminalnego NUMB3RS.

Prawo Benforda odnosi się do danych, które nie są bezwymiarowe, dlatego też wartości liczbowe informacji zależą od jednostek. Jeśli istnieje uniwersalny rozkład prawdopodobieństwa P(x) na takie liczby, to musi on być niezmienny przy zmianie skali, więc

P(kx)=f(k)P(x).

(1)

Jeżeli intP(x)dx=1, to intP(kx)dx=1/k, a normalizacja oznacza f(k)=1/k. Zróżnicowanie w odniesieniu do k i ustawienie k=1 daje

xP^'(x)=-P(x),

(2)

o roztworze P(x)=1/x. Chociaż często nie jest to poprawny rozkład prawdopodobieństwa (ponieważ jest on rozbieżny), zarówno prawa fizyki, jak i ludzka konwencja narzucają cięcia. na przykład losowo wybrane adresy ulic przestrzegają czegoś na skraju prawa Benforda.

BenfordsLaw

Jeżeli pomiędzy wartościami granicznymi leży wiele potęg po 10, to prawdopodobieństwo, że pierwotna (dziesiętna) cyfra to D, jest podane w rozkładzie logarytmicznym.

P_D=(int_D^(D+1)P(x)dx)/(int_1^(10)P(x)dx)=log_(10)(1+1/D)

(3)

dla D=1, …, 9, zilustrowane powyżej i przedstawione w tabelach poniżej.

D P_D D P_D

1 0.30103 6 0.0669468

2 0.176091 7 0.0579919

3 0.124939 8 0.0511525

4 0.09691 9 0.0457575

5 0.0791812

Jednak prawo Benforda ma zastosowanie nie tylko do danych niezmiennych w skali, ale także do liczb wybranych z rozpiętości różnych źródeł. Wyjaśnienie tego faktu wymaga bardziej rygorystycznego badania centralnych tez granicznych dla mantyn zmiennych losowych podlegających mnożeniu. ponieważ liczba zmiennych rośnie, funkcja gęstości zbliża się do funkcji powyższego rozkładu logarytmicznego. Hill (1998) rygorystycznie wykazał, że “rozkład rozkład” podany przez próbki losowe pobrane z rozrzutu różnych rozkładów jest w rzeczywistości prawem Benforda (Matthewsa).

Jednym z uderzających przykładów prawa Benforda jest 54 miliony stałych rzeczywistych w bazie danych Plouffe’a “Inverse Symbolic Calculator”, z czego 30% zaczyna się od cyfry 1. Biorąc pod uwagę dane z kilku różnych źródeł, poniższa tabela przedstawia rozkład pierwszych cyfr zestawionych przez Benforda

col. tytuł 1 2 3 4 5 6 7 8 9 próbek

A Rzeki, obszar 31,0 16,4 10,7 11,3 7,2 8,6 5,5 4,2 5,1 335

B Ludność 33,9 20,4 14,2 8,1 7,2 6,2 4,1 3,7 2,2 3259

C Stałe 41,3 14,4 4,8 8,6 10,6 5,8 1,0 2,9 10,6 104

D Gazety 30,0 18,0 12,0 10,0 8,0 6,0 6,0 5,0 5,0 100

E Ciepło właściwe 24,0 18,4 16,2 14,6 10,6 4,1 3,2 4,8 4,1 1389

F Ciśnienie 29,6 18,3 12,8 9,8 8,3 6,4 5,7 4,4 4,7 7 703

G H.P. Lost 30,0 18,4 11,9 10,8 8,1 7,0 5,1 5,1 3,6 690

H Mol. Wgt. 26,7 25,2 15,4 10,8 6,7 5,1 4,1 2,8 3,2 1800

I Odpływ 27,1 23,9 13,8 12,6 8,2 5,0 5,0 2,5 1,9 159

J Atomic Wgt. 47,2 18,7 5,5 4,4 6,6 4,4 3,3 4,4 5,5 91

K n^(-1), sqrt(n) 25,7 20,3 9,7 6,8 6,6 6,8 7,2 8,0 8,9 5000

L Design 26,8 14,8 14,3 7,5 8,3 8,4 7,0 7,3 5,6 560

M Reader’s Digest 33,4 18,5 12,4 7,5 7,1 6,5 5 5,5 4,9 4,2 308

N Dane dotyczące kosztów 32,4 18,8 10,1 10,1 9,8 5,5 4,7 5,5 3,1 741

O RTG Volt 27,9 17,5 14,4 9,0 8,1 7,4 5,1 5,8 4,8 707

P Am. Liga 32,7 17,6 12,6 9,8 7,4 6,4 4,9 5,6 3,0 1458

Q Ciało czarne 31,0 17,3 14,1 8,7 6,6 7,0 5,2 4,7 5,4 1165

R Adresy 28,9 19,2 12,6 8,8 8,5 6,4 5,6 5,0 5,0 342

S n^1, n^2…n! 25.3 16.0 12.0 10.0 8.5 8.8 6.8 7.1 5.5 900

T Wskaźnik zgonów 27,0 18,6 15,7 9,4 6,7 6,5 7,2 4,8 4,1 418

Średnio 30,6 18,5 12,4 9,4 8,0 6,4 5,1 4,9 4,7 1011

Prawdopodobny błąd +/-0.8 +/-0.4 +/-0.4 +/-0.3 +/-0.2 +/-0.2 +/-0.2 +/-0.3

Poniższa tabela przedstawia rozkład pierwszej cyfry mantysy według prawa Benforda przy użyciu kilku różnych metod.

metoda OEIS sekwencja

Sainte-Lague A055439 1, 2, 3, 1, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8, 9, …

d’Hondt A055440 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 5, 1, 6, 3, 1, …

największa pozostała część, Kontyngenty na hodowlę A055441 1, 2, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 1, 2, 8, 1, …

największa pozostała część, Kontyngenty na droopa A055442 1, 2, 3, 1, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8, 1, …