Distribuição Binomial

Objetivos de aprendizado

Caracterizar os resultados binomiais

Registar a probabilidade de obter X realizações em N preliminares

Registar probabilidades binomiais agregadas

Localizar a média e o desvio padrão de uma apropriação binomial

No momento em que você atira uma moeda ao ar, há dois resultados potenciais: cabeça e cauda. Cada resultado tem uma probabilidade fixa, o equivalente de preliminar a preliminar. Por causa das moedas, as cabeças e os rabos têm uma probabilidade semelhante de 1/2. Ainda mais, na maioria das vezes, há circunstâncias em que a moeda é unilateral, de modo que as cabeças e os rabos têm várias probabilidades. Na área atual, consideramos as apropriações de probabilidade para as quais há apenas dois resultados potenciais com probabilidades fixas somadas a um. A estas transmissões chamamos de apropriações binomiais.

Um Modelo Básico

Os quatro resultados potenciais que podem acontecer com a hipótese de ter atirado uma moeda ao ar duas vezes são registados por baixo na Tabela 1. Note que os quatro resultados são igualmente prováveis: cada hectare de probabilidade 1/4. Para ver isso, note que as viradas da moeda são livres (nenhuma delas influencia a outra). Daí em diante, a probabilidade de um Flip 1 com cabeça e um Flip 2 com cabeça é o resultado de P(H) e P(H), que é 1/2 x 1/2 = 1/4. Um cálculo semelhante aplica-se à probabilidade de uma cabeça no Flip 1 e uma cauda no Flip 2. Cada um deles é 1/2 x 1/2 = 1/4.

Tabela 1. Quatro Resultados Possíveis.

Resultado Primeira Viragem Segunda Viragem
1 Cabeças Cabeças
2 Cabeças Caudas
3 Caudas Cabeças
4 Caudas Caudas

Os quatro resultados potenciais podem ser encomendados até ao número de cabeças que surgirem. O número pode ser dois (Resultado 1), um (Resultados 2 e 3) ou 0 (Resultado 4). As probabilidades destes resultados concebíveis são mostradas na Tabela 2 e na Figura 1. Uma vez que dois dos resultados falam do caso em que apenas uma cabeça aparece nos dois buracos, a probabilidade desta ocasião é equivalente a 1/4 + 1/4 = 1/2. A Tabela 2 condensa a circunstância.

A receber 0, 1, ou 2 cabeças.

Número de cabeças Probabilidade
0 1/4
1 1/2
2 1/4

A Fórmula das Probabilidades Binomiais

A transmissão binomial compreende as probabilidades de cada uma das quantidades potenciais de realizações em N preliminares para ocasiões autônomas que cada uma tem uma probabilidade de π (a carta grega pi) de acontecer. Para o modelo de virar a moeda, N = 2 e π = 0,5. A equação para a dispersão binomial é demonstrada da seguinte forma:

onde P(x) é a probabilidade de x triunfos de N preliminares, N é o número de preliminares, e π é a probabilidade de realização de uma determinada preliminar. Aplicando isto ao modelo de virar a moeda,

Na hipótese de atirar uma moeda ao ar duas vezes, qual é a probabilidade de conseguir pelo menos uma cabeça? Como a probabilidade de conseguir precisamente uma cabeça é 0,50 e a probabilidade de conseguir precisamente duas cabeças é 0,25, a probabilidade de conseguir pelo menos uma cabeça é 0,50 + 0,25 = 0,75.

Presentemente, assumimos que a moeda é unilateral. A probabilidade de cabeças é de apenas 0,4. Qual é a probabilidade de se conseguir cabeças, de qualquer forma, uma vez em duas? Substituindo na equação geral acima, você deve adquirir a resposta apropriada .64.

Probabilidades totais

Atiramos uma moeda ao ar várias vezes. Qual é a probabilidade de conseguirmos de 0 a 3 cabeças? A resposta apropriada é encontrada pelo processamento da probabilidade de precisamente 0 cabeças, precisamente 1 cabeça, precisamente 2 cabeças, e precisamente 3 cabeças. A probabilidade de obter de 0 a 3 cabeças é então a totalidade destas probabilidades. As probabilidades são: 0,0002, 0,0029, 0,0161, e 0,0537. O total das probabilidades é de 0,073. O cálculo das probabilidades binomiais agregadas pode ser muito repetitivo. Desta forma, demos uma trituradora de números binomiais para tornar simples o cálculo destas probabilidades.

Média e Desvio Padrão das Circulações Binomiais

Considere um teste de atirar uma moeda ao ar, no qual você virou uma moeda várias vezes e registrou o número de cabeças. No caso de você repetir esta análise várias vezes, qual poderia ser o número médio de cabeças? De modo geral, você esperaria que uma grande parte das moedas atirassem cabeças. Assim, o número médio de cabeças seria 6. Como regra, a média de uma apropriação binomial com os parâmetros N (a quantidade de preliminares) e π (a probabilidade de progresso em cada preliminar) é:

μ = Nπ

onde μ é o meio da dispersão binomial. A flutuação da dispersão binomial é:

σ2 = Nπ(1-π)

onde σ2 é a flutuação da circulação binomial.

E se voltássemos ao teste de atirar moedas. A moeda foi atirada várias vezes, então N = 12. Uma moeda tem uma probabilidade de 0,5 de subir de cabeça. Desta forma, π = 0,5. A média e a flutuação podem ser processadas como perseguições:

μ = Nπ = (12)(0.5) = 6

σ2 = Nπ(1-π) = (12)(0,5)(1,0 – 0,5) = 3,0.

Normalmente, o desvio padrão (σ) é a base quadrada da mudança (σ2).