Em geometria, a colinearidade de um conjunto de pontos é a propriedade de estarem sobre uma única linha.[1] Diz-se que um conjunto de pontos com esta propriedade é colinear (às vezes grafado como colinear[2]). Em maior generalidade, o termo tem sido usado para objetos alinhados, ou seja, coisas sendo “em uma linha” ou “em uma linha”.

Pontos em uma linha

Em qualquer geometria, diz-se que o conjunto de pontos de uma linha é colinear. Na geometria euclidiana, esta ligação é naturalmente retratada por focos situados sucessivamente sobre uma “reta”. Seja como for, em muitas geometrias (contando Euclidiano) uma reta é geralmente um tipo de objeto bruto (indistinto), então tais representações não serão realmente adequadas. Um modelo para a geometria oferece uma interpretação de como os pontos, linhas e outros tipos de itens se identificam uns com os outros e uma idéia, por exemplo, a colinearidade deve ser decifrada dentro da configuração desse modelo. Por exemplo, na geometria circular, onde as linhas são faladas no modelo padrão por incríveis círculos de um círculo, os conjuntos de focos colineares se baseiam em um círculo extraordinário semelhante. Tais focos não se encontram numa “linha recta” no sentido euclidiano e não são pensados como estando em sucessão.

Um mapeamento de uma geometria a si mesma que envia linhas a linhas é conhecido como colineação; ele gelifica a propriedade de colinearidade. Os mapas retos (ou elementos diretos) de espaços vetoriais, vistos como mapas geométricos, mapeiam linhas a linhas; ou seja, mapeiam conjuntos de guias colineares em direção a conjuntos de pontos colineares como, são colineações. Na geometria projetiva, estes mapeamentos diretos são chamados de homografias e são apenas um tipo de colinações.

Exemplos em geometria euclidiana

Triângulos

Em qualquer triângulo, os seguintes conjuntos de pontos são colineares:

O ortocentro, o circuncentro, o centróide, o ponto Exeter, o ponto de Longchamps e o centro do círculo de nove pontos são colineares, todos caindo sobre uma linha chamada linha Euler.

O ponto de Longchamps também tem outras colinearidades.

Qualquer vértice, a tangência do lado oposto com uma excitação, e o ponto Nagel são colineares em uma linha chamada divisor do triângulo.

O ponto médio de qualquer lado, o ponto que está equidistante dele ao longo do limite do triângulo em qualquer direção (de modo que estes dois pontos bissejam o perímetro), e o centro do círculo Spieker são colineares em uma linha chamada cutelo do triângulo. (O círculo Spieker é o círculo do triângulo medial, e seu centro é o centro da massa do perímetro do triângulo).

Qualquer vértice, a tangência do lado oposto com o círculo, e o ponto Gergonne são colineares.

De qualquer ponto da circunferência de um triângulo, os pontos mais próximos em cada um dos três lados estendidos do triângulo são colineares na linha Simson do ponto da circunferência.

As linhas que unem os pés das altitudes interceptam os lados opostos em pontos colineares.[3]:p.199

O incentro de um triângulo, o ponto médio de uma altitude e o ponto de contacto do lado correspondente com a excitação relativa a esse lado são colineares[4]:p.120,#78

O teorema de Menelaus afirma que três pontos {\i1},P_{2},P_{3}}P_{1},P_{2},P_{3} nos lados (alguns estendidos) de um triângulo de vértices opostos {\i1},A_{2},A_{3}}A_{1},A_{2},A_{3} respectivamente são colineares se e somente se os seguintes produtos de comprimentos de segmento forem iguais:[3]:p. 147

P_{1}A_{2}cdot P_{2}A_{3}cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}}cdot P_{2}A_{1}cdot P_{3}A_{1}cdot P_{3}A_{2}.}P_{1}A_{2}cdot P_{2}A_{3}cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}}cdot P_{2}A_{1}cdot P_{3}A_{2}.

O incentro, o centroide e o centro do círculo Spieker são colineares.

O circuncentro, o ponto médio do Brocard e o ponto Lemoine de um triângulo são colineares [5].

Duas linhas perpendiculares que se intersectam no ortocentro de um triângulo, cada uma delas intersectando cada um dos lados estendidos do triângulo. Os pontos médios dos três lados desses pontos de intersecção são colineares na linha Droz-Farny.

Quadriláteros

Num quadrilátero convexo ABCD cujos lados opostos se cruzam em E e F, os pontos médios de AC, BD e EF são colineares e a linha através deles é chamada linha de Newton (às vezes conhecida como linha Newton-Gauss [citação necessária]). Se o quadrilátero é um quadrilátero tangencial, então seu incentro também está sobre esta linha [6].

Num quadrilátero convexo, o quasiorthocenter H, o “area centroid” G e o quasicircumcenter O são colineares nesta ordem, e HG = 2GO[7] (Ver Quadrilátero#Pontos e linhas marcadas num quadrilátero convexo).

Outras colinearidades de um quadrilátero tangencial são dadas no quadrilátero tangencial#Colinear pontos.

Num quadrilátero cíclico, o circuncentro, o vértice centroide (a intersecção dos dois bimedios) e o anticentro são colineares [8].

Em um quadrilátero cíclico, a área centróide, o vértice centróide e a intersecção das diagonais são colineares [9].

Em um trapézio tangencial, as tangências do círculo com as duas bases são colineares com o incêntrico.

Em um trapézio tangencial, os pontos médios das pernas são colineares com o incêntrico.

Hexágonos

O teorema de Pascal (também conhecido como Teorema do Hexagrama Místico) afirma que se um seis pontos arbitrários são escolhidos em uma seção cônica (ou seja, elipse, parábola ou hipérbole) e unidos por segmentos de linha em qualquer ordem para formar um hexágono, então os três pares de lados opostos do hexágono (estendidos se necessário) se encontram em três pontos que se encontram em uma linha reta, chamada de linha Pascal do hexágono. O inverso também é verdadeiro: o teorema de Braikenridge-Maclaurin afirma que se os três pontos de intersecção dos três pares de linhas através de lados opostos de um hexágono se encontram numa linha, então os seis vértices do hexágono encontram-se numa cónica, que pode ser degenerada como no teorema do hexágono de Pappus.

seções cônicas

Pelo teorema de Monge, para quaisquer três círculos de um plano, nenhum deles completamente dentro de um dos outros, os três pontos de intersecção dos três pares de linhas, cada um externamente tangente a dois dos círculos, são colineares.

Numa elipse, o centro, os dois focos e os dois vértices com o menor raio de curvatura são colineares, e o centro e os dois vértices com o maior raio de curvatura são colineares.

Numa hipérbole, o centro, os dois focos, e os dois vértices são colineares.

Cones

O centro de massa de um sólido cónico de densidade uniforme situa-se a um quarto do caminho do centro da base até ao vértice, na linha recta que une os dois.

Tetrahedrons

O centroide de um tetraedro é o ponto médio entre o seu ponto Monge e o seu circuncentro. Estes pontos definem a linha Euler do tetraedro que é análoga à linha Euler de um triângulo. O centro da esfera de doze pontos do tetraedro também se encontra na linha de Euler.