A conjectura original de Goldbach (às vezes chamada de conjectura “ternária” de Goldbach), escrita em uma carta de 7 de junho de 1742 para Euler, diz “pelo menos parece que cada número que é maior que 2 é a soma de três primes” (Goldbach 1742; Dickson 2005, p. 421). Note que Goldbach acreditava que o número 1 era um primo, um espetáculo que nunca mais é perseguido. Como comunicado novamente por Euler, um tipo igual deste palpite (chamado de palpite “sólido” ou “duplo” Goldbach) afirma que todos os números pares positivos >=4 podem ser comunicados como um todo de dois primes. Dois primes (p,q) com o objetivo final que p+q=2n para n um número inteiro positivo são agora e depois chamados de um segmento Goldbach (Oliveira e Silva).

Como indicado por Hardy (1999, p. 19), “É quase simples fazer suposições inteligentes; sem dúvida, existem hipóteses, semelhantes ao ‘Teorema de Goldbach’, que nunca foram demonstradas e que qualquer truque poderia ter especulado”. Faber e Faber ofereceram um prêmio de 1000000 dólares a qualquer indivíduo que demonstrou o palpite de Goldbach entre 20 de março de 2000 e 20 de março de 2002, porém o prêmio não foi reclamado e o palpite permanece aberto.

Schnirelman (1939) demonstrou que cada número significativo pode ser composto como a totalidade de não mais de 300000 primes (Dunham 1990), o que parece estar bastante longe de uma prova para dois primes! Pogorzelski (1977) professou ter demonstrado o palpite Goldbach, no entanto, sua verificação não é comumente reconhecida (Shanks 1985). A tabela que acompanha o quadro limita n com o objetivo final de que o palpite Goldbach sólido foi demonstrado como válido para os números <n.

bound   referência

1×10^4 Desboves 1885

1×10^5 Tubagem 1938

1×10^8 Stein e Stein 1965ab

2×10^(10)             Granville et al. 1989

4×10^(11)             Sinisalo 1993

1×10^(14)             Deshouillers et al. 1998

4×10^(14)             Richstein 1999, 2001

2×10^(16)             Oliveira e Silva (24 de março de 2003)

6×10^(16)             Oliveira e Silva (3 de outubro de 2003)

2×10^(17)             Oliveira e Silva (5 de fevereiro de 2005)

3×10^(17)             Oliveira e Silva (30 de dezembro de 2005)

12×10^(17)          Oliveira e Silva (14 de julho de 2008)

4×10^(18)             Oliveira e Silva (Abr. 2012)

A conjectura de que todos os números ímpares >=9 são o agregado de três primes ímpares é conhecida como o “fraco” palpite Goldbach. Vinogradov (1937ab, 1954) demonstrou que cada número ímpar adequadamente grande é o agregado de três primes (Nagell 1951, p. 66; Guy 1994), e Estermann (1938) demonstrou que praticamente todos os números pares são o total de dois primes. Vinogradov’s unique “adequately huge” N>=3^(3^(15)) approx e^(e^(16.573)) approx 3.25×10^(6846168) was therefore decreased to e^(e^(11.503)) approx 3.33×10^(43000) by Chen and Wang (1989). Chen (1973, 1978) também demonstrou que todos os números suficientemente grandes e uniformes são o resultado de dois primes (Guy 1994, Courant e Robbins 1996). Mais de dois séculos após o primeiro palpite ter sido expresso, o frágil palpite Goldbach foi demonstrado por Helfgott (2013, 2014).

Uma variante mais fundamentada do palpite fraco, em particular, que cada número ímpar >=7 pode ser comunicado como o total de um prime, além do dobro de um prime é conhecido como palpite de Levy.

Uma explicação igual do palpite Goldbach é que para cada número inteiro positivo m, há primes p e q com o objetivo final que

onde Pi_2 é a constante de primes gêmeos (Halberstam e Richert 1974).