Uma permutação, também chamada “número do arranjo” ou “ordem”, pode ser uma reorganização do tempo de uma lista ordenada S numa correspondência um-para-um com a própria S. A quantidade de permutações sobre um grupo de n elementos é dada por n! (n factorial; Uspensky 1937, p. 18). por exemplo , existem 2!=2-1=2 permutações de {1,2}, nomeadamente {1,2} e {2,1}, e 3!=3-2-1=6 permutações de {1,2,3}, nomeadamente {1,2,3,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}, e {3,2,1}. As permutações de um inventário são frequentemente encontradas dentro da Wolfram Language usando o comando PermutationListQ[list]. um inventário de comprimento n é frequentemente testado para verificar se é uma permutação de 1, …, n dentro da Wolfram Language usando o comando PermutationListQ[list].

Sedgewick (1977) resume a variedade de algoritmos para gerar permutações, e identifica o algoritmo de permutação mínima de mudança de Heap (1963) para ser geralmente o mais rápido (Skiena 1990, p. 10). Outro método de enumeração das permutações foi dado por Johnson (1963; Séroul 2000, pp. 213-218).

O número da forma de obter um subconjunto ordenado de k elementos a partir de um grupo de n elementos é dado por

_nP_k=(n!)/((n-k)!)

(1)

(Uspensky 1937, p. 18), onde n! pode ser um factorial. por exemplo , existem 4!/2!=12 2-subsets de {1,2,3,4}, nomeadamente {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,1}, {2,3}, {2,4}, {3,1}, {3,2}, {3,4}, {4,1}, {4,2}, e {4,3}. Os subconjuntos não ordenados contendo k elementos são referidos como os subconjuntos k de um dado conjunto.

A representação de uma permutação como produto de ciclos de permutação é exclusiva (até à ordenação dos ciclos). Um exemplo de decomposição cíclica é a permutação {4,2,1,3} de {1,2,3,4}. frequentemente designada por (2)(143), tal como os ciclos de permutação disjunta (2) e (143). há uma excelente liberdade na escolha da representação de uma decomposição cíclica uma vez que (1) os ciclos são disjuntos e podem, portanto, ser dispostos em qualquer ordem, e (2) qualquer rotação de um dado ciclo especifica um ciclo equivalente (Skiena 1990, p. 20). Por conseguinte, (431)(2), (314)(2), (143)(2), (2)(431), (2)(314) e (2)(143) descrevem todos uma permutação equivalente.

Outra notação que identifica explicitamente as posições ocupadas pelos elementos antes e depois da aplicação de uma permutação em n elementos utiliza uma matriz 2×n, em que a linha primária é (123…n) e, portanto, a segunda linha é que a nova disposição. por exemplo , a permutação que muda os elementos 1 e um par de elementos e fixa 3 seria escrita como

[1 2 3; 2 1 3].

(2)

Qualquer permutação é, além disso, um produto de transposições. As permutações são normalmente designadas por ordem lexicográfica ou de transposição. existe uma correspondência entre uma permutação e um par de Young tableaux referidos como a correspondência Schensted.

O número de permutações erradas de n objectos é [n!/e] onde [x] é a função inteira mais próxima. Uma permutação de n objectos ordenados durante a qual nenhum objecto se encontra no seu lugar natural é denominada desarranjo (ou, por vezes, uma permutação inteira) e, por conseguinte, o número de tais permutações é dado pelo subfactorial !n.

Usando

(x+y)^n=sum_(r=0)^n(n; r)x^(n-r)y^r

(3)

com x=y=1 dá

2^n=sum_(r=0)^n(n; r),

(4)

portanto o número da forma de selecção 0, 1, …, ou n de cada vez é 2^n.

O conjunto de todas as permutações de um grupo de elementos 1, …, n são frequentemente obtidas utilizando o procedimento recursivo subsequente

1 2; / ; 2 1

(5)

1 2 3; / ; 1 3 2 ; / ; 3 1 2 ; | ; 3 2 1 ; \ ; 2 3 1 ; \ ; 2 1 3

(6)

Considerar as permutações durante as quais não ocorre nenhum par de elementos consecutivos (isto é, sucessões ascendentes ou descendentes). Para n=1, 2, … elementos, os números de tais permutações são 1, 0, 0, 2, 14, 90, 646, 5242, 47622, … (OEIS A002464).

Que o conjunto de inteiros 1, 2, …, N seja permutado e, portanto, a sequência resultante seja dividida em séries crescentes. Denotar o comprimento típico da enésima corrida à medida que N se aproxima do infinito, L_n. os poucos valores primários estão resumidos na tabela seguinte, onde e é a base do logaritmo naperiano (Le Lionnais 1983, pp. 41-42; Knuth 1998).

n L_n OEIS aproximado

1 e-1 A091131 1.7182818…

2 e^2-2e A091132 1.9524…

3 e^3-3e^2+3/2e A091133 1.9957…