Compreender a matemática da mudança contínua.
O cálculo é o estudo matemático das coisas que mudam: carros a acelerar, planetas a mover-se ao redor do sol, economias a flutuar. Para pensar nestas quantidades em evolução, outro arranjo de aparelhos – a análise – foi criado no século XVII, sempre ajustando o curso da matemática e da ciência.
A experiência analítica funcional que qualquer investigador ansioso, especialista ou matemático necessita.
Limites ao Infinito
Por vezes, não vamos resolver nada directamente… mas vamos ver o que deve ser à medida que nos encontramos e nos aproximamos!
Exemplo:
(x2 – 1)(x – 1)
Vamos resolver isto para x=1:
Agora 0/0 pode ser uma dificuldade! não sabemos realmente o valor de 0/0 (é “indeterminado”), por isso gostaríamos de responder de outra forma.
Por isso, em vez de tentarmos perceber para x=1, vamos tentar aproximar-nos cada vez mais dele:
Continuação do exemplo:
x (x2 – 1)(x – 1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
… …
Agora vemos que à medida que x chega à beira de 1, então (x2-1)(x-1)(x-1) chega à beira de 2
Encontramo-nos agora perante uma situação estimulante:
Quando x=1 não conhecemos a solução (é indeterminada)
Mas veremos que está a chegar a 2
Queremos oferecer a solução “2” mas não podemos, pelo que os matemáticos dizem exactamente o que está a acontecer utilizando a palavra especial “limite”.
O limite de (x2-1)(x-1) como x aproxima-se de 1 é 2
E está escrito em símbolos como:
limx→1 x2-1x-1 = 2
Por isso, é uma forma especial de afirmar, “ignorando o que acontece quando lá chegamos, mas à medida que nos encontramos e nos aproximamos cada vez mais da solução, a solução aproxima-se cada vez mais de 2”.
Como um gráfico, é assim:
Portanto, na verdade, não podemos dizer qual é o valor em x=1.
Mas diremos que, à medida que nos aproximamos de 1, o limite é 2.
É como subir uma colina e depois encontrar o trilho é magicamente “não está lá”…
… mas se verificarmos apenas um dos lados, quem sabe o que acontece?
Então gostaríamos de verificar de ambos os lados para ter a certeza onde “deveria estar”!
Exemplo Continua
Portanto, vamos tentar do lado oposto:
x (x2 – 1)(x – 1)
1.5 2.50000
1.1 2.10000
1.01 2.01000
1.001 2.00100
1.0001 2.00010
1.00001 2.00001
… …
Também a dois, por isso está bem
Resumo Rápido dos Limites
Por vezes, não vamos resolver nada directamente… mas vamos ver o que deve ser à medida que nos encontramos e nos aproximamos!
Exemplo:
(x2 – 1)(x – 1)
Vamos resolver isto para x=1:
Agora 0/0 pode ser uma dificuldade! não sabemos realmente o valor de 0/0 (é “indeterminado”), por isso gostaríamos de responder de outra forma.
Por isso, em vez de tentarmos perceber para x=1, vamos tentar aproximar-nos cada vez mais dele:
Continuação do exemplo:
x (x2 – 1)(x – 1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
… …
Agora vemos que à medida que x chega à beira de 1, então (x2-1)(x-1)(x-1) chega à beira de 2
Encontramo-nos agora perante uma situação estimulante:
Quando x=1 não conhecemos a solução (é indeterminada)
Mas veremos que está a chegar a 2
Queremos oferecer a solução “2” mas não podemos, pelo que os matemáticos dizem exactamente o que está a acontecer utilizando a palavra especial “limite”.
O limite de (x2-1)(x-1) como x aproxima-se de 1 é 2
E está escrito em símbolos como:
limx→1 x2-1x-1 = 2
Portanto, é uma forma especial de afirmar , “ignorando o que acontece quando lá chegamos, mas à medida que nos encontramos e nos aproximamos cada vez mais da solução”
Como um gráfico, é assim:
Portanto, na verdade, não podemos dizer qual é o valor em x=1.
Mas diremos que, à medida que nos aproximamos de 1, o limite é 2.