Compreender a matemática da mudança contínua.

O cálculo é o estudo matemático das coisas que mudam: carros a acelerar, planetas a mover-se ao redor do sol, economias a flutuar. Para pensar nestas quantidades em evolução, outro arranjo de aparelhos – a análise – foi criado no século XVII, sempre ajustando o curso da matemática e da ciência.

A experiência analítica funcional que qualquer investigador ansioso, especialista ou matemático necessita.

Limites ao Infinito

Por vezes, não vamos resolver nada directamente… mas vamos ver o que deve ser à medida que nos encontramos e nos aproximamos!

Exemplo:

(x2 – 1)(x – 1)

Vamos resolver isto para x=1:

Agora 0/0 pode ser uma dificuldade! não sabemos realmente o valor de 0/0 (é “indeterminado”), por isso gostaríamos de responder de outra forma.

Por isso, em vez de tentarmos perceber para x=1, vamos tentar aproximar-nos cada vez mais dele:

Continuação do exemplo:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Agora vemos que à medida que x chega à beira de 1, então (x2-1)(x-1)(x-1) chega à beira de 2

Encontramo-nos agora perante uma situação estimulante:

Quando x=1 não conhecemos a solução (é indeterminada)

Mas veremos que está a chegar a 2

Queremos oferecer a solução “2” mas não podemos, pelo que os matemáticos dizem exactamente o que está a acontecer utilizando a palavra especial “limite”.

O limite de (x2-1)(x-1) como x aproxima-se de 1 é 2

E está escrito em símbolos como:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Por isso, é uma forma especial de afirmar, “ignorando o que acontece quando lá chegamos, mas à medida que nos encontramos e nos aproximamos cada vez mais da solução, a solução aproxima-se cada vez mais de 2”.

Como um gráfico, é assim:

Portanto, na verdade, não podemos dizer qual é o valor em x=1.

Mas diremos que, à medida que nos aproximamos de 1, o limite é 2.

É como subir uma colina e depois encontrar o trilho é magicamente “não está lá”…

… mas se verificarmos apenas um dos lados, quem sabe o que acontece?

Então gostaríamos de verificar de ambos os lados para ter a certeza onde “deveria estar”!

Exemplo Continua

Portanto, vamos tentar do lado oposto:

x (x2 – 1)(x – 1)

1.5 2.50000

1.1 2.10000

1.01 2.01000

1.001 2.00100

1.0001 2.00010

1.00001 2.00001

… …

Também a dois, por isso está bem

Resumo Rápido dos Limites

Por vezes, não vamos resolver nada directamente… mas vamos ver o que deve ser à medida que nos encontramos e nos aproximamos!

Exemplo:

(x2 – 1)(x – 1)

Vamos resolver isto para x=1:

Agora 0/0 pode ser uma dificuldade! não sabemos realmente o valor de 0/0 (é “indeterminado”), por isso gostaríamos de responder de outra forma.

Por isso, em vez de tentarmos perceber para x=1, vamos tentar aproximar-nos cada vez mais dele:

Continuação do exemplo:

x (x2 – 1)(x – 1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

… …

Agora vemos que à medida que x chega à beira de 1, então (x2-1)(x-1)(x-1) chega à beira de 2

Encontramo-nos agora perante uma situação estimulante:

Quando x=1 não conhecemos a solução (é indeterminada)

Mas veremos que está a chegar a 2

Queremos oferecer a solução “2” mas não podemos, pelo que os matemáticos dizem exactamente o que está a acontecer utilizando a palavra especial “limite”.

O limite de (x2-1)(x-1) como x aproxima-se de 1 é 2

E está escrito em símbolos como:

limx→1 x2-1x-1 = 2

Portanto, é uma forma especial de afirmar , “ignorando o que acontece quando lá chegamos, mas à medida que nos encontramos e nos aproximamos cada vez mais da solução”

Como um gráfico, é assim:

Portanto, na verdade, não podemos dizer qual é o valor em x=1.

Mas diremos que, à medida que nos aproximamos de 1, o limite é 2.