Multiplicadores Lagrange, também chamados de multiplicadores Lagrangianos (ex, Arfken 1985, p. 945), podem ser utilizados para descobrir os extremos de uma capacidade multivariada f(x_1,x_2,…,x_n) sujeita ao imperativo g(x_1,x_2,…,x_n)=0, onde f e g são capacidades com subordinados persistentes na primeira metade do conjunto aberto contendo a curva g(x_1,x_2,…,x_n)=0, e del g!=0 a qualquer momento na curva (onde del é o ângulo).

Para que um extremo de f exista em g, o ângulo de f deve concordar com a inclinação de g. Na delimitação acima, f aparece em vermelho, g em azul, e o ponto de cruzamento de f e g é mostrado em azul claro. A inclinação é um vetor plano (ou seja, não tem segmento z) que mostra o cabeçalho que a capacidade aumenta; pois g é oposto à curva, que é uma linha reta para esta situação. Caso as duas inclinações sejam semelhantes, nesse ponto uma é diferente (- lambda) da outra, portanto

del f=-lambdadel g.

Os dois vetores são iguais, portanto todos os seus componentes também são, dando

(partialf)/(partialx_k)+lambda(partialg)/(partialx_k)=0

para todos os k=1, …, n, onde a lambda constante é chamada de multiplicador Lagrange.

O extremo é então encontrado pela solução das equações n+1 em n+1 incógnitas, o que é feito sem inverter g, razão pela qual os multiplicadores de Lagrange podem ser tão úteis.

Para múltiplas restrições

_1=0, _2=0, …,

del f+lambda_1del g_1+lambda_2del g_2+...=0.