EXPLORANDO ESTE TOPO NA Aula de Matemática

Temos vários resultados intimamente relacionados que são conhecidos como o teorema binomial de acordo com a fonte. Mais confuso é o facto de alguns destes (e outros) resultados intimamente relacionados serem conhecidos como a fórmula binomial, a expansão binomial e a identidade binomial, com a própria identidade por vezes simplesmente chamada “série binomial” em vez de “teorema binomial”.

Um caso mais geral do teorema binomial é a identidade da série binomial

 (x+a)^nu=sum_(k=0)^infty(nu; k)x^ka^(nu-k),

em que (nu; k) é um coeficiente binomial e nu é um número real. Essa série converge para nu>=0 um número inteiro, ou |x/a|<1. A forma geral é a que Graham et al. (1994, p. 162). Arfken (1985, p. 307) chama ao caso especial desta fórmula com a=1 o teorema binomial.

Quando nu é um número inteiro positivo n, termina com n=nu e pode ser escrito na forma

 (x+a)^n=sum_(k=0)^n(n; k)x^ka^(n-k).

Essa forma de identidade é chamada o teorema binomial por Abramowitz e Stegun (1972, p. 10).

As várias terminologias estão resumidas no quadro seguinte.

“fonte “teorema binomial

Graham et al. (1994, p. 162)

Arfken (1985, p. 307)

Abramowitz e Stegun (1972, p. 10)

“Teorema do binómio “fonte

Abramowitz e Stegun (1972, p. 10)

Este teorema binomial era conhecido pelo caso n=2 de Euclides por volta de 300 AC, e declarado na sua forma moderna por Pascal num panfleto póstumo publicado em 1665. O panfleto de Pascal, juntamente com a correspondência sobre o tema com Fermat desde 1654 (e publicado em 1679) é a base para nomear o triângulo aritmético em sua homenagem.

A fórmula também foi apresentada por Newton (1676) para números inteiros negativos -n,

 (x+a)^(-n)=sum_(k=0)^infty(-n; k)x^ka^(-n-k),

que é a chamada série binomial negativa e converge para |x|<a.

de facto, a generalização

 (1+z)^a=sum_(k=0)^infty(a; k)z^k

contém para todo o complexo z com |z|<1.

Os seus muitos outros talentos incluem o Major-General Stanley na opereta de Gilbert e Sullivan “Os Piratas de Penzance”, que impressiona os piratas com o seu conhecimento sobre o teorema binomial em “A Canção do Major-General”, como se segue: “Tenho informação vegetal, animal e mineral, compreendo os reis de Inglaterra, e cito as batalhas históricas, De Maratona a Waterloo, por ordem categórica; também conheço muito bem as questões matemáticas, compreendo as equações, simples e quadradas, sobre o teorema binomial repleto de notícias, com muitos factos alegres sobre o quadrado da hipotenusa”.