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Se uma matriz A tiver uma câmara de velocidade não-inversível P (por exemplo, a matriz [1 1 1; 0 1] tem o sistema de câmara de velocidade não-inversível [1 0; 0 0]), então A não tem decomposição da câmara de velocidade. No entanto, se A for uma matriz real m×n com m>n, então A pode ser escrita usando o chamado valor de decomposição singular da forma

A=UDV^(T).

(1)

É de notar que a literatura utiliza uma série de convenções conceptuais contrastantes. Press et al. (1992) definem U como matriz m×n, D como n×n e V como n×n. No entanto, a linguagem Wolfram define U como m×m, D como m×n e V como n×n. Em ambos os sistemas, U e V têm colunas ortogonais de modo a que

U^(T)U=I

(2)

e

V^(T)V=I

(3)

(onde as duas matrizes de identidade podem ter tamanhos diferentes), e D tem entradas apenas ao longo da diagonal.

Para uma matriz A complexa, a decomposição do valor singular é uma decomposição na forma

A=UDV^(H),

(4)

onde U e V são matrizes unitárias, V^(H) é a transposição conjugada de V, e D é uma matriz diagonal cujos elementos são os valores singulares da matriz original. Se A é uma matriz complexa, então existe sempre uma tal decomposição com valores singulares positivos (Golub e Van Loan 1996, pp. 70 e 73).

A decomposição de valores singulares é implementada na linguagem Wolfram como SingularValueDecomposition[m], que retorna uma lista {U, D, V}, onde U e V são matrizes e D é uma matriz diagonal composta pelos valores singulares de m.