O produto C de duas matrizes A e B é definido como

 c_(ik)=a_(ij)b_(jk),

aqui j é adicionado para cada estimativa concebível de I e k e a documentação acima utiliza o programa de soma de Einstein. A somatória inferida sobre os registros de repetição sem a proximidade de um sinal agregado inequívoco é chamada de soma de Einstein e é geralmente utilizada tanto na rede como no exame tensor. Assim, todos juntos para que a duplicação da rede seja caracterizada, os componentes das redes devem cumprir

onde (aXb) denota uma matriz com filas e colunas. Escrevendo o produto explicitamente,

onde

A multiplicação de matrizes é associativa, como se pode ver ao tomar

onde a soma de Einstein é novamente usada. Agora, desde , , e são escalares se a associatividade da multiplicação escalar para escrever

Como isto é verdade para todos e , deve ser verdade que

sem equívocos. Devido à associatividade, as estruturas estruturam um semigrupo sob duplicação.

Ou seja, a multiplicação matricial é associativa. A equação (13) pode, portanto, ser escrita

sem ambiguidade. Devido à associatividade, as matrizes formam um semigrupo em multiplicação.

O aumento da matriz é igualmente distributivo. Na hipótese de que An e B são redes m×n e C e D são redes n×p, nesse momento

Uma vez que as estruturas n×n estruturam um conjunto abeliano em expansão, as estruturas n×n estruturam um anel.

Seja como for, o aumento da malha não é, em geral, comutativo (apesar de ser comutativo se An e B forem de canto a canto e de medida semelhante).

O resultado de duas grades quadradas é dado pelo aumento de cada quadrado