ЭКСПЛОРИНГ ЭТОЙ ТОПЫ в классе “Мир математики”.

У нас есть несколько тесно связанных результатов, которые, согласно исходному тексту, по-разному известны как биномиальная теорема. Более запутанным является тот факт, что некоторые из этих (и других) близких результатов по-разному известны как биномиальная формула, биномиальное расширение и биномиальная идентичность, причем идентичность сама по себе иногда просто называется “биномиальная серия”, а не “биномиальная теорема”.

Более общим случаем биномиальной теоремы является идентичность серии биномиальных

 (x+a)^nu=sum_(k=0)^infty(nu; k)x^ka^(nu-k),

где (nu; k) – биномиальный коэффициент, а nu – вещественное число. Этот ряд сходится для nu>=0 целым числом, или |x/a|<1. Общий вид – это то, что Грэм и др. (1994, с. 162). Арфкен (1985, с. 307) называет особый случай этой формулы биномиальной теоремой a=1.

Когда nu является положительным целым числом n, оно заканчивается n=nu и может быть записано в форме .

 (x+a)^n=sum_(k=0)^n(n; k)x^ka^(n-k).

Эта форма личности называется биномиальной теоремой Абрамовица и Стегуна (1972, с. 10).

Различные терминологии обобщены в следующей таблице.

источник “биномиальной теоремы”

Грэм и др. (1994, стр. 162)

Арфкен (1985, с. 307)

Абрамовиц и Стегун (1972, с. 10)

“исходная” биномиальная теорема

Абрамовиц и Стегун (1972, с. 10)

Эта биномиальная теорема была известна для случая n=2 Евклида около 300 г. до н.э. и объявлена в современном виде Паскалем в посмертной брошюре, опубликованной в 1665 году. Памфлет Паскаля вместе с перепиской на эту тему с Ферматом с 1654 г. (и опубликован в 1679 г.) является основой для наименования арифметического треугольника в его честь.

Формула была также показана Ньютоном (1676) для отрицательных целых чисел -n,

 (x+a)^(-n)=sum_(k=0)^infty(-n; k)x^ka^(-n-k),

которая является так называемой отрицательной биномиальной серией и сходится для |x|<a.

на самом деле обобщение

 (1+z)^a=sum_(k=0)^infty(a; k)z^k

трюмы для всех сложных z с |z|<1.

Среди его многих других талантов – оперетта генерал-майора Стэнли в “Гилберте” и оперетта Салливана “Пираты Пензанса”, которая впечатляет пиратов своими знаниями о биномиальной теореме в “Песне генерал-майора” следующим образом: “У меня есть информация о растениях, животных и минералах, я понимаю английских королей и цитирую исторические битвы, от Марафона до Ватерлоо, в категориальном порядке; я также очень хорошо знаю математические вопросы, я понимаю уравнения, как простые, так и квадратные, о биномиальной теореме, изобилующей новостями, с множеством веселых фактов о квадрате гипотенузы”.