Когда вы подбрасываете монету, есть два возможных результата: головы и хвосты. Каждый результат имеет фиксированную вероятность, одинаковую от теста к тесту. В случае с монетами, головы и хвосты имеют одинаковую вероятность 1/2. В более общем плане, бывают ситуации, когда монета имеет тенденциозность, так что у головы и хвоста разные вероятности. В этом разделе мы рассмотрим распределения вероятностей, для которых есть только два возможных исхода с фиксированными вероятностями, добавленными к одному. Эти распределения называются биномиальными распределениями.

Простой пример

Четыре возможных результата, которые могут возникнуть при двойном подбрасывании монеты, перечислены в Таблице 1. Обратите внимание, что четыре результата одинаково вероятны: каждый из них имеет вероятность 1/4. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что подбрасывания монет независимы (ни один из них не влияет на другой). Таким образом, вероятность головы на флипе 1 и головы на флипе 2 является произведением P(H) и P(H), что составляет 1/2 x 1/2 = 1/4. Это вычисление применяется к вероятности головы на флипе 1 и хвоста на флипе 2. Каждый из них равен 1/2 x 1/2 = 1/4.

Таблица 1. Четыре возможных результата.

Результаты.

Outcome First Flip Second Flip
1 Heads Heads
2 Heads Tails
3 Tails Heads
4 Tails Tails

Результат Первый Флип Второй Флип
1 Начальник
2 Орел Хвосты
3 Хвосты
4 Хвосты Хвосты

Результат первого переворота первого переворота первого переворота второго переворота

1 Начальник

2 Хвостовые головы

3 Хвостовые головки

4 очереди

Четыре возможных результата можно классифицировать по количеству появляющихся руководителей. Число может быть два (Результат 1), один (Результаты 2 и 3) или 0 (Результат 4). Вероятности этих возможностей показаны в Таблице 2 и на Рисунке 1. Поскольку два результата представляют собой случай, когда в двух бросах появляется только одна голова, вероятность этого события составляет 1/4 + 1/4 = 1/2. В таблице 2 обобщена ситуация.

Таблица 2. Вероятность получения 0, 1 или 2 голов.

Получение 0, 1 или 2 голов.

Number of Heads Probability
0 1/4
1 1/2
2 1/4

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial1.jpg

Количество голов Вероятность
0 1/4
1 1/2
2 1/4

Вероятность числа руководителей

0 1/4

1 1/2

2 1/4

Рисунок 1. Вероятность 0, 1 и 2 головы.

На рисунке 1 показано дискретное распределение вероятностей: оно показывает вероятность для каждого из значений по оси X. Определив голову как “успешную”, на рисунке 1 показана вероятность успеха 0, 1 и 2 для двух тестов (переворотов) для события с вероятностью успеха 0.5 на каждом тесте. Сделав Рисунок 1 примером биномиального распределения.

Формула для биномиальных вероятностей

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial_formula.gif

Биномиальное распределение состоит из вероятности каждого из возможных успешных чисел на N тестах для независимых событий, каждое из которых имеет вероятность возникновения π (греческая буква pi). На примере жеребьёвки монеты N = 2 и π = 0,5. Формула биномиального распределения приведена ниже:

http://onlinestatbook.com/2/probability/graphics/binomial2.gif

где P(x) – вероятность x успеха N испытаний, N – число испытаний, а π – вероятность успеха данного испытания. Применяя это на примере жеребьевки монеты,

Если вы подбросите монету дважды, какова вероятность получить одну или несколько голов? Так как вероятность получения ровно одной головы составляет 0.50, а вероятность получения ровно двух голов – 0.25, то вероятность получения одной или нескольких голов составляет 0.50 + 0.25 = 0.75.

Теперь предположим, что монета предвзята. Вероятность получения ровно двух голов составляет всего 0.4. Какова вероятность получения голов хотя бы раз в два сальто? Заменив вышеприведенную общую формулу, вы должны получить ответ .64.

Совокупные вероятности

Мы бросаем монету 12 раз. Какова вероятность получить от 0 до 3 голов? Ответ найден путем подсчета вероятности получения ровно 0 голов, ровно 1 голову, ровно 2 головы и ровно 3 головы. Вероятность получения от 0 до 3 голов – это сумма этих вероятностей. Вероятности таковы: 0.0002, 0.0029, 0.0161 и 0.0537. Сумма вероятностей 0.073. Расчет суммарных биномиальных вероятностей может быть довольно скучным. По этой причине мы предоставили биномиальный калькулятор для облегчения вычисления этих вероятностей.

Среднее и стандартное отклонение биномиальных распределений

Рассмотрим эксперимент по подбрасыванию монет, в котором вы подбрасываете монету 12 раз и записываете количество голов. Если бы вы проводили этот эксперимент снова и снова, каким было бы среднее количество голов? В среднем, вы бы ожидали, что половина бросков монет придет с головами. Таким образом, среднее количество голов будет 6. В общем, среднее биномиальное распределение с параметрами N (количество тестов) и π (вероятность успеха каждого теста):

μ = Nπ

где μ – это среднее биномиальное распределение. Дисперсия биномиального распределения:

σ2 = Nπ(1-π).

где σ2 – разница в биномиальном распределении.

Давайте вернемся к эксперименту по подбрасыванию монет. Монету подбрасывали 12 раз, так что N = 12. У монеты есть 0.5 шанса смириться. Итак, π = 0.5. Среднее и дисперсия могут быть вычислены следующим образом:

μ = Nπ = (12)(0.5) = 6.

σ2 = Nπ(1-π) = (12)(0.5)(1.0 – 0.5) = 3.0.

Конечно, среднеквадратическое отклонение (σ) является квадратным корнем дисперсии (σ2).