Вот мои записи по курсу “Дифференциальные условия”, который я преподаю здесь, в университете Ламар. Несмотря на то, что это мои “учебные заметки”, они должны быть доступны для всех, кто нуждается в том, чтобы понять, как понять дифференциальные условия или потребовать обновить информацию о дифференциальных условиях.

Я попытался сделать эти заметки настолько независимыми, насколько можно было бы ожидать, таким образом, все данные, ожидаемые для их изучения, либо из класса Calculus или Algebra, либо содержатся в различных областях заметки.

Вот два или три наставления моим дублерам, которые могут быть здесь, чтобы получить дубликат того, что произошло в день, который вы пропустили.

Так как мне нужно было сделать это по-настоящему полным набором заметок для любого, кто нуждается в изучении дифференциальных условий, я включил в них некоторый материал, который я, по большей части, не имею возможности осветить в классе, и в свете того, что это продвижение от семестра к семестру здесь не отмечается. Вы должны открыть для себя одного из ваших коллег, чтобы проверить, есть ли в этих записях что-то, что не было опрошено в классе.

В общем, я стараюсь работать над проблемами в классе, которые отличаются от моих конспектов. Как бы то ни было, с помощью Дифференциального уравнения значительное количество проблем трудно составить спонтанно, поэтому в этом классе моя классная работа будет преследовать эти заметки действительно близко, так же, как и рабочие вопросы. Учитывая все вышесказанное, время от времени я буду работать над проблемами на самой высокой точке своей головы, когда смогу дать большее количество моделей, чем только те, которые есть в моих заметках. К тому же, у меня часто нет времени в классе на работу над большинством вопросов в заметках, поэтому вы обнаружите, что несколько областей содержат вопросы, которые не были отработаны в классе из-за ограничений по времени.

Иногда вопросы в классе будут вести вниз по путям, которые здесь не рассматриваются. Я пытаюсь предугадать, сколько запросов можно было бы ожидать при их составлении, но на самом деле я не могу предугадать каждый из запросов.  Иногда в классе задают очень хороший вопрос, который приводит к размышлениям, которые я не включил сюда. Вы всегда должны поговорить с кем-нибудь, кто был в классе в тот день, когда вы пропустили, сравнить эти ноты с их нотами и посмотреть, в чем разница.

Это в какой-то степени отождествляется с тремя прошлыми вещами, однако, это достаточно значимо, чтобы оправдать свою собственную вещь. ЭТИ ЗАПИСИ НЕ ЗАМЕНЯЮТ ПОСЕЩЕНИЕ ЗАНЯТИЙ!!! Использование этих записей в качестве замены занятия находится под угрозой, чтобы попасть в тяжелую ситуацию. Так же эффективно замечено, что не все в этих заметках окутано классом, и регулярно в классе собирается материал или кусочки знаний, которых нет в этих заметках.

Вот список (и краткое описание) материала, который находится в этом наборе заметок.

Основные понятия – В этой части мы представляем большое количество существенных идей и определений, которые встречаются в курсе общих дифференциальных условий. Мы также исследуем поля заголовков и то, как их можно использовать для решения части поведения ответов для дифференциальных условий.

Определения – В этой области представлена часть обычных определений и идей в курсе дифференциальных условий, включая запрос, прямые и нелинейные условия, начальные условия, вступительный вопрос и промежуточный вопрос о легитимности.

Поля направлений – В этом сегменте мы говорим о полях направлений и о том, как их очертить. Кроме того, мы рассматриваем, как поля курса могут быть использованы для определения некоторых данных об ответе на дифференциальное условие, не имея реального расположения.

Последние мысли – В этой области мы дадим два или три последних размышления о том, что мы будем рассматривать на протяжении всего курса.

Дифференциальные уравнения первого порядка – В этом разделе мы рассмотрим некоторые стандартные техники расположения для дифференциальных условий первого запроса, включая прямые, отличные, осторожные и дифференциальные условия Бернулли. Кроме того, мы исследуем промежуточные условия легитимности, гармонические расположения и метод Эйлера. Кроме того, мы моделируем некоторые физические обстоятельства с дифференциальными условиями первого запроса.

Линейные уравнения – В этом разделе мы решаем линейные дифференциальные уравнения первого порядка, т.е. дифференциальные уравнения в виде y′+p(t)y=g(t) Мы даем углубленный обзор процесса, используемого для решения этого типа дифференциальных уравнений, а также вывод формулы, необходимой для интегрирующего фактора, используемого в процессе решения.

Разделимые уравнения – В данном разделе решаются разделимые дифференциальные уравнения первого порядка, т.е. дифференциальные уравнения в виде N(y)y′=M(x)N(y)y′=M(x). Приведем вывод о процессе решения дифференциальных уравнений такого типа. Начнем также поиск интервала валидности решения дифференциального уравнения.
Точные уравнения – В этом разделе мы обсудим вопросы определения и решения точных дифференциальных уравнений. Мы разработаем тест, который может быть использован для определения точных дифференциальных уравнений и дадим подробное объяснение процесса решения. Также здесь мы сделаем еще несколько интервалов задач валидности.
Дифференциальные уравнения Бернулли – В данном разделе мы решим дифференциальные уравнения Бернулли, т.е. дифференциальные уравнения в виде y′+p(t)y=yny′+p(t)y=yn. В этом же разделе будет представлена идея использования подстановки для решения дифференциальных уравнений.
Подстановка – В этом разделе мы подберем место, где осталась последняя секция, и посмотрим на пару других подстановок, которые могут быть использованы для решения некоторых дифференциальных уравнений. В частности, мы обсудим использование решений для решения дифференциальных уравнений вида y′=F(yx)y′=F(yx) и y′=G(ax+by)y′=G(ax+by).
Интервалы валидности – В данном разделе мы подробно рассмотрим интервалы валидности, а также ответим на вопрос о существовании и уникальности дифференциальных уравнений первого порядка.
Моделирование с помощью дифференциальных уравнений первого порядка – В данном разделе мы будем использовать дифференциальные уравнения первого порядка для моделирования физических ситуаций. В частности, мы рассмотрим задачи смешивания (моделирование количества вещества, растворенного в жидкости, и жидкости, как поступающей, так и выходящей), задачи популяций (моделирование популяции при различных ситуациях, в которых популяция может входить или выходить) и падающих объектов (моделирование скорости падающего объекта под действием как силы тяжести, так и сопротивления воздуха).
Решения уравнений – в этом разделе мы определим решения уравнений (или точек равновесия) для автономных дифференциальных уравнений, y′=f(y)y′=f(y). Обсуждается классификация решений уравнений как асимптотически стабильных, нестабильных или полустабильных.
Метод Эйлера – В этом разделе мы вкратце рассмотрим достаточно простой метод аппроксимации решений дифференциальных уравнений. Выведены формулы, используемые в Методе Эйлера, и дано краткое обсуждение ошибок в аппроксимациях решений.