Coursera Learner working on a presentation with Coursera logo and
Coursera Learner working on a presentation with Coursera logo and

В геометрии коллинеарность множества точек является свойством их лежания на одной прямой[1]. Считается, что множество точек с этим свойством является коллинеарным (иногда пишется как colinear[2]). В более общем плане этот термин используется для выровненных объектов, т.е. вещей, лежащих “в прямой” или “в строке”.

Точки на линии

В любой геометрии набор точек на прямой считается коллинеарным. В евклидовой геометрии это соединение естественным образом изображается фокусом, лежащим последовательно на “прямой”. Как бы то ни было, во многих геометриях (считая евклидов) линия обычно является грубым (нечётким) типом объекта, поэтому такие представления на самом деле не подходят. Модель для геометрии предлагает интерпретацию того, как точки, линии и другие типы объектов идентифицируются друг с другом, а идея, например, коллинеарность должна быть расшифрована внутри настройки этой модели. Например, в круговой геометрии, где линии разговаривают в стандартной модели по невероятным окружностям круга, наборы коллинеарных фокусов лежат на аналогичной необычной окружности. Такие фокусы не лежат на “прямой линии” в евклидовом смысле и не воспринимаются как последовательность.

Отображение геометрии, которая посылает линии к линиям, называется коллиниацией; это желирует свойство коллинеарности. Прямые карты (или прямые элементы) векторных пространств, рассматриваемые как геометрические карты, накладывающие линии на линии; то есть, они накладывают коллинарные направляющие наборы на наборы коллинарных точек, как, например, коллинации. В проективной геометрии эти прямые отображения называются гомографиями и являются лишь одним из видов коллинаций.

Примеры в евклидовой геометрии

Треугольники

В любом треугольнике следующие наборы точек являются прямолинейными:

Ортоцентр, центр, центроид, точка Эксетер, точка де Лонгчампс и центр девятиточечной окружности являются коллинеарными, все они падают на линию, называемую линией Эйлера.

Точка de Longchamps также имеет и другие коллинеарности.

Любая вершина, касательная противоположной стороны с эксциркулем, и точка Нагеля – это коллинеарная линия, называемая делителем треугольника.

Средняя точка любой стороны, точка, равноудалённая от неё вдоль границы треугольника в любом направлении (поэтому эти две точки разбивают периметр), а центр круга Спикера – это коллинеарная линия, называемая расщепителем треугольника. (Окружность Спикера – это вписанная окружность медиального треугольника, а ее центр – центр массы по периметру треугольника).

Любая вершина, касательная противоположной стороны к вписанной окружности и точка Гергона являются коллинеарными.

От любой точки окружности треугольника ближайшие точки на каждой из трех вытянутых сторон треугольника являются коллинеарными по линии Симсона в точке окружности треугольника.

Линии, соединяющие ноги высот, пересекают противоположные стороны в точках коллинеарного круга.[3]:с.199

Инцидент треугольника, середина высоты и точка соприкосновения соответствующей стороны с эксциркуляром относительно этой стороны являются коллинеарными.[4]:p.120,#78

Теорема Менелая утверждает, что три точки {\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}P_{1},P_{2},P_{3} по бокам (некоторым вытянутым) треугольника напротив вершин {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}A_{1},A_{2},A_{3} соответственно являются коллинарными, если и только если следующие произведения длины отрезков равны: [3]:p. 147

{\displaystyle P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.}P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}\cdot P_{3}A_{2}.

Инсентор, центроид и центр круга Спикера являются коллинеарными.

Круговой центр, средняя точка Брокара и точка Лемуана треугольника являются коллинеарными[5].

Две перпендикулярные линии, пересекающиеся в ортоцентре треугольника, каждая из которых пересекает каждую из его вытянутых сторон. Средние точки на трёх сторонах этих точек пересечения являются коллинеарными в линии Дроз-Фарны.

Четырехугольники

В выпуклом четырехугольнике ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках E и F, средние точки AC, BD и EF являются коллинеарными, а проходящая через них линия называется линией Ньютона (иногда ее называют линией Ньютона-Гаусса[ссылка обязательна]). Если четырёхугольник является тангенциальным четырёхугольником, то его вписанная часть также лежит на этой линии[6].

В выпуклом четырёхугольнике квазиортоцентр H, “зона центроида” G и квазициркумцентр O являются коллинеарными в этом порядке, а HG = 2GO.[7] (См. “Четырёхугольник#Запоминающиеся точки и линии в выпуклом четырёхугольнике”).

Остальные коллинеарности тангенциального квадрилала приведены в тангенциальных точках квадрилала #Колинейные точки.

В циклическом четырёхугольнике окружность, вершина центроида (пересечение двух бимедианов) и антицентр являются коллинеарными[8].

В циклическом четырёхугольнике область центроида, вершина центроида и пересечение диагоналей являются коллинеарными[9].

В тангенциальной трапециевидной трапеции касания вписанной окружности с двумя основаниями коллинируют с вписанной окружностью.

В тангенциальной трапеции средние точки ног коллинированы с инцентором.

Гексагоны

Теорема Паскаля (также известная как Hexagrammum Mysticum Theorem) утверждает, что если на коническом отрезке (т.е. эллипсе, параболе или гиперболе) выбраны произвольные шесть точек и соединены отрезками прямых в любой последовательности, образующими шестиугольник, то три пары противоположных сторон шестиугольника (вытянутые при необходимости) встречаются в трёх точках, лежащих на прямой, называемой шестигранной линией Паскаля. Обратное также верно: теорема Брайкенриджа-Маклорина утверждает, что если три точки пересечения трёх пар прямых, проходящих через противоположные стороны гексагона, лежат на прямой, то шесть вершин гексагона лежат на конической, которая может быть вырождена, как в теореме о гексагонах Паппуса.

Конические сечения

По теореме Монжа, для любых трёх окружностей на плоскости, ни одна из которых не находится полностью внутри одной из других, три точки пересечения трёх пар прямых, каждая из которых внешне касательна к двум окружностям, являются коллинарными.

В эллипсе центр, два очага и две вершины с наименьшим радиусом кривизны являются коллинеарными, а центр и две вершины с наибольшим радиусом кривизны являются коллинеарными.

В гиперболы центр, два очага и две вершины являются коллинарными.

Конусы

Центр массы конического тела однородной плотности лежит на четверти пути от центра основания до вершины, по прямой, соединяющей их.

Тетраэдры

Центроид тетраэдра является средней точкой между точкой Монжа и центром окружности. Эти точки определяют линию Эйлера тетраэдра, аналогичную линии Эйлера треугольника. Центр двенадцатиточечной сферы тетраэдра также лежит на линии Эйлера.