Первоначальная гипотеза Гольдбаха (иногда называемая “троичной” гипотезой Гольдбаха), написанная в письме Эйлеру от 7 июня 1742 г., гласит, что “по крайней мере, кажется, что каждое число, которое больше 2, является суммой трех праймов” (Goldbach 1742; Dickson 2005, p. 421). Отметим, что Гольдбах считал, что число 1 – это прайм, шоу, которое больше никогда не преследуется. Как перечисляет Эйлер, равный тип этой догадки (называемой “сплошной” или “двойной” догадкой Гольдбаха) подтверждает, что все положительные четные числа >=4 могут быть сообщены как целое из двух праймов. Два прима (p,q) с конечной целью, что p+q=2n для n положительного целого числа, сейчас и потом называются отрезком Гольдбаха (Oliveira e Silva).

Как указывал Харди (1999, p. 19), “делать умные предположения почти просто; без сомнения, есть гипотезы, похожие на “Теорию Гольдбаха”, которые никогда не были продемонстрированы и о которых можно было бы догадаться с помощью любого трюка”. Фабер и Фабер предложили приз в $1000000 любому человеку, который демонстрировал догадки Голдбаха в период с 20 марта 2000 г. по 20 марта 2002 г., однако приз остался невостребованным, и догадка осталась открытой.

Шнирельман (1939) продемонстрировал, что каждая значительная цифра может быть составлена как целое из не более чем 300000 праймов (Dunham 1990), что кажется довольно далеким от доказательства для двух праймов! Погожельский (1977) утверждал, что продемонстрировал догадку Гольдбаха, однако его верификация не является общепризнанной (Shanks 1985). Сопроводительная таблица сокращает границы n с конечной целью, что твердая догадка Гольдбаха была продемонстрирована как действительная для чисел <n.

связанная ссылка

1×10^4 Десбовы 1885 г.

1×10^5 Пиппинг 1938

1×10^8 Штейн и Штейн 1965ab

2×10^(10) Грэнвилл и др. 1989 г.

4×10^(11) Синисало, 1993 г.

1×10^(14) Дешуйерс и др. 1998

4×10^(14) Рихштейн 1999, 2001

2×10^(16) Оливейра и Сильва (24 марта 2003 г.)

6×10^(16) Оливейра и Сильва (3 октября 2003 г.)

2×10^(17) Оливейра и Сильва (5 февраля 2005 г.)

3×10^(17) Оливейра и Сильва (30 декабря 2005 г.)

12×10^(17) Оливейра и Сильва (14 июля 2008 г.)

4×10^(18) Оливейра и Сильва (апрель 2012 г.)

Предположение, что все нечетные числа >=9 являются совокупностью трех нечетных примесей, известно как “слабая” догадка Голдбаха. Виноградов (1937ab, 1954) показал, что каждое достаточно большое нечетное число является совокупностью трех праймов (Nagell 1951, p. 66; Guy 1994), а Эстерман (Estermann, 1938) показал, что практически все четные числа являются суммарными двумя праймами. Таким образом, уникальное “адекватно огромное” N>=3^(3^(15)) около e^(e^(16.573)) около 3.25×10^(6846168) Виноградова было уменьшено Ченом и Ваном (1989) до e^(e^(11.503)) около 3.33×10^(43000). Чен (1973, 1978) также показал, что все адекватно огромные четные числа являются целым праймом и результатом всего того, что считалось двумя праймами (Guy 1994, Courant и Robbins 1996). Более чем через два столетия после того, как была высказана первая догадка, хрупкая догадка Голдбаха была продемонстрирована Хелфготтом (2013, 2014).

Более обоснованный вариант хрупкой догадки, в частности, что каждое нечетное число >=7 может быть передано как суммарное значение прайма в дополнение к двум праймам, известен как догадка Леви.

Равное объяснение догадки Гольдбаха состоит в том, что для каждого положительного целого числа m, есть праймы p и q с конечной целью, которая

 R(n)∼2Pi_2product_(k=2; p_k|n)(p_k-1)/(p_k-2)int_2^n(dx)/((lnx)^2),

где Pi_2 – это константа близнецов-примов (Halberstam and Richert 1974).