Лагранжевые мультипликаторы, также называемые Лагранжевыми мультипликаторами (например, Arfken 1985, p. 945), часто не находят экстремумы многомерной функции f(x_1,x_2,…,x_n) при условии ограничения g(x_1,x_2,…. , x_n)=0, где f и g – функции с непрерывными первыми частичными производными на открытом множестве, содержащие кривую g(x_1,x_2,…,x_n)=0, и del g!=0 в любой точке кривой (где del – это градиент).

LagrangeMultipliers

ЛагранжМюльтипликаторы

Для того чтобы экстремум f существовал на g, градиент f должен совпадать с градиентом g. На приведенном выше рисунке f показан красным, g – синим, поэтому пересечение f и g обозначено светло-голубым. Градиент может быть горизонтальным вектором (т.е. не z-компонентом), который показывает направление, в котором возрастает функция; например, он перпендикулярен кривой, которая в этом случае может быть линией. Если 2 градиента находятся в одном направлении, то один из них может быть кратным (-лямбда) противоположному, so

 del f=-lambdadel g.

Эти два вектора равны, так что все их составляющие тоже, давая

 (partialf)/(partialx_k)+lambda(partialg)/(partialx_k)=0

для всех k=1, …, n, где постоянная лямбда называется множителем Лагранжа.

Экстремал затем находят путем решения уравнений n+1 в неизвестных n+1, что завершается без инвертирования g, поэтому часто так полезны множители Лагранжа.

Для множественных ограничений g_1=0, g_2=0, ….,

 del f+lambda_1del g_1+lambda_2del g_2+...=0.