n×n сложная матрица A называется положительной определённой, если

R[x^*Ax]>0

(1)

для всех ненулевых комплексных векторов x в C^n, где x^* обозначает конъюгат транспонирования вектора x. в случае истинной матрицы A, уравнение (1) уменьшается до

x^(T)Ax>0,

(2)

где x^(T) обозначает транспонирование. Положительно определенные матрицы имеют как теоретическое, так и вычислительное значение в широком спектре применений. они используются, например, в алгоритмах оптимизации и при построении разнообразных прямолинейных моделей регрессии (Johnson 1970).

Линейная система уравнений с положительной определенной матрицей часто эффективно решается с помощью так называемого разложения Холесского. Положительная определённая матрица имеет минимум один корень матрицы. Кроме того, ровно один из квадратных корней матрицы сам по себе является положительно определенным.

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы шикарная матрица A была положительной определённой, является то, что гермитская часть

A_H=1/2(A+A^(H)),

(3)

где A^(H) обозначает конъюгат транспонирования, быть положительным определённым. Это говорит о том, что истинная матрица A является положительной определённой, если симметричная часть

A_S=1/2(A+A^(T)),

(4)

где A^(T), что транспозиция, является положительной определённой (Johnson 1970).

Смущает то, что обсуждение позитивных определенных матриц обычно ограничивается только гермитскими матрицами, или симметричными матрицами в случае реальных матриц (Pease 1965, Johnson 1970, Marcus and Minc 1988, p. 182; Marcus and Minc 1992, p. 69; Golub and Van Loan 1996, p. 140). Гермитская (или симметричная) матрица является положительной однозначной, если все ее собственные значения положительны. Поэтому общая комплексная (соответственно вещественная) матрица является положительной неопределенной, если ее гермитская (или симметричная) часть имеет все собственные положительные значения.

Детерминант положительной определённой матрицы обычно является положительным, поэтому положительная определённая матрица обычно является бессмысленной.

Если A и B являются положительными определёнными, то и A+B тоже. Матрица, обратная положительной определённой матрице, дополнительно является положительной определённой.

Определение положительной определенности похоже на необходимость того, чтобы детерминанты, связанные со всеми левыми верхними подматрицами, были положительными.

Следующие условия необходимы (но недостаточны) для того, чтобы гермитская матрица A (которая по определению имеет вещественные диагональные элементы a_(ii)) была положительной определённой.

1. a_(ii)>0 для всех i,

2. a_(ii)+a_(jj)>2|R[a_(ij)]| для i!=j,

3. Элемент с наибольшим модулем лежит на самой диагонали,

4. det(A)>0.

Здесь R[z] заключается в том, что реальная часть z, а опечатка в Градштейн и Рыжик (2000, с. 1063) была исправлена в пункте (ii).

Реальная симметричная матрица A является положительной определённой, если существует истинная квадратная матрица M такая

A=MM^(T),

(5)

где M^(T) – это транспозиция (Ayres 1962, p. 134). особенно, 2×2 симметричная матрица

[a; b; c]

(6)

определённо положительно, если

av_1^2+2bv_1v_2+cv_2^2>0

(7)

для всех v=(v_1,v_2)!=0.

Числа положительных определенных n×n матриц заданных типов приведены в следующей таблице. Например, три определенные положительные матрицы 2×2 (0,1)-матрицы имеют вид

[1 0; 0 1],[1 0; 1 1],[1 1; 0 1],

(8)

все они имеют собственное значение 1 с вырождением 2.

матричный тип OEIS считает

(0,1)-матрица A085656 1, 3, 27, 681, 43369, …

(-1,0,1)-матрица A086215 1, 7, 311, 79505, …