Перестановка, также называемая “порядковым номером” или “порядком”, может быть перестановкой погоды упорядоченного списка S в переписку один на один с самим S. Количество перестановок на группе из n элементов задается n! (n факториал; Успенский 1937, с. 18). Например, 2!=2-1=2 перестановки {1,2}, а именно {1,2} и {2,1}, и 3!=3-2-1=6 перестановок {1,2,3}, а именно {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {2,3,1}, {3,1,2}, и {3,2,1}. Перестановки инвентаризации часто встречаются в языке Wolfram с помощью команды PermutationListQ[list]. Перестановки длиной n часто проверяются, чтобы определить, является ли это перестановкой 1, …, n в языке Wolfram с помощью команды PermutationListQ[list].

Sedgewick (1977) суммирует разнообразие алгоритмов генерации перестановок и определяет минимальное изменение алгоритма перестановки Heap (1963), который, как правило, является самым быстрым (Skiena 1990, p. 10). Другой метод подсчета перестановок был приведен Джонсоном (1963; Сероул 2000, стр. 213-218).

Номер способа получения упорядоченного подмножества k элементов из группы n элементов приведен по формуле

_nP_k=(n!)/((n-k)!)

(1)

(Успенский 1937, с. 18), где n! может быть факториалом. Например, 4!/2!=12 2-подмножества {1,2,3,4}, а именно {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,1}, {2,3}, {2,4}, {3,1}, {3,2}, {3,4}, {4,1}, {4,2}, и {4,3}. Неупорядоченные подмножества, содержащие k элементов, называются подмножествами k данного множества.

Представление перестановки как произведения циклов перестановки является исключительным (вплоть до упорядочения циклов). Примером циклического разложения является перестановка {4,2,1,3} из {1,2,3,4}. Это часто обозначается (2)(143), как и дискретные циклы перестановки (2) и (143). в выборе представления циклического разложения есть большая свобода, так как (1) циклы дискретные и поэтому могут быть расположены в любом порядке, и (2) любое вращение данного цикла задает эквивалентный цикл (Skiena 1990, p. 20). Поэтому (431)(2), (314)(2), (143)(2), (2)(431), (2)(314) и (2)(143) описывают эквивалентную перестановку.

Другая нотация, которая явно идентифицирует позиции, занятые элементами до и после применения перестановки на n элементов, использует матрицу 2×n, где первичная строка (123…n), а, следовательно, и вторая строка, это то, что новое расположение. Например, перестановка, которая переключает элементы 1 и пару и исправляет 3, будет записана как

[1 2 3; 2 1 3].

(2)

Любая перестановка дополнительно является продуктом транспозиции. Пермутации обычно обозначаются в лексикографическом или транспозиционном порядке. существует соответствие между перестановкой и парой таблиц Юнга, называемой соответствием Шенстеда.

Количество неправильных перестановок n объектов – [n!/e], где [x] – ближайшая целочисленная функция. Перестановка n упорядоченных объектов, во время которой ни один объект не находится в своем естественном месте, называется перестановкой (а иногда и целой перестановкой), и поэтому количество таких перестановок задается подфакториалом !n.

Используя

(x+y)^n=sum_(r=0)^n(n; r)x^(n-r)y^r

(3)

с x=y=1 дает

2^n=sum_(r=0)^n(n; r),

(4)

поэтому номер способа выбора 0, 1, … или n за раз составляет 2^n.

Набор всех перестановок группы элементов 1, …, n часто получается с помощью последующей рекурсивной процедуры

1 2; / ; 2 1

(5)

1 2 3; / ; 1 3 2 ; / ; 3 1 2 ; | ; 3 2 1 ; \ ; 2 3 1 ; \ ; 2 1 3

(6)

Рассмотрим перестановки, во время которых не происходит ни одной пары последовательных элементов (т.е. восходящих или нисходящих последовательностей). Для n=1, 2, … элементов число таких перестановок равно 1, 0, 0, 2, 14, 90, 646, 5242, 47622, … (OEIS A002464).

Пусть набор целых чисел 1, 2, …, N будет перемьютирован и, следовательно, результирующая последовательность разделена на возрастающие прогоны. Обозначим типичную длину n-го прогона по мере приближения N к бесконечности, L_n. Первичные несколько значений обобщены в следующей таблице, где e – это основа напиеровского логарифма (Le Lionnais 1983, pp. 41-42; Knuth 1998).

n L_n OEIS приблизительное

1 е-1 А091131 1.7182818…

2 е^2-2е A091132 1.9524…

3 е^3-3e^2+3/2e A091133 1.9957…