Стандартным гауссовым распределением может быть гауссово распределение со средним значением нуля и дисперсией 1. Качество гауссово распределения находится в центре нуля, и поэтому степень отклонения заданного измерения от среднего задается отклонением качества. Для гауссовского распределения по качеству 68% наблюдений находятся в пределах 1 дисперсии от среднего, 95% – в пределах 2 дисперсий от среднего и 99.9% – в пределах 3 стандартных отклонений от среднего. До настоящего времени мы использовали “Х” для обозначения интересующей нас переменной (например, X=BMI, X=высота, X=вес). Однако, при использовании стандартного гауссовского распределения, мы будем использовать “Z”, чтобы задать переменную в контексте типичного гауссовского распределения. После стандартизации BMI=30, рассмотренный на предыдущей странице, показан ниже, лежащий на 0.16667 единиц выше среднего значения 0 для качественного гауссовского распределения на самом деле.

Поскольку мир под кривой качества = 1, начнем более точно определять возможности конкретного наблюдения. Для любого заданного Z-анализа вычислим мир под кривой слева от этого Z-анализа. В таблице в рамке ниже показаны возможности гауссовского распределения качества. Изучите таблицу и обратите внимание на то, что оценка “Z” в 0.0 означает вероятность 0.50 или 50%, а оценка “Z” в 1, означающая одну дисперсию выше среднего, означает вероятность 0.8413 или 84%. Это потому, что одна дисперсия выше и ниже средней составляет около 68%, поэтому одна дисперсия выше средней составляет половину от 34%. Таким образом, пятьсот ниже среднего плюс 34% выше среднего дают нам 84%.

СТАНДАРТНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ОТЧЕТНОСТЬ: Значения таблицы представляют АРЕЮ к ЛЕВШЕЙ из Z баллов.

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 -3.9 .00005 .00005 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00003 .00003 -3.8 .00007 .00007 .00007 .00006 .00006 .00006 .00006 .00005 .00005 .00005 -3. 7 .00011 .00010 .00010 .00010 .00009 .00009 .00008 .00008 .00008 .00008 -3.6 .00016 .00015 .00015 .00014 .00014 .00013 .00013 .00012 .00012 .00011 -3.5 .00023 .00022 .00022 .00021 .00020 .00019 . 00019 .00018 .00017 .00017 -3.4 .00034 .00032 .00031 .00030 .00029 .00028 .00027 .00026 .00025 .00024 -3.3 .00048 .00047 .00045 .00043 .00042 .00040 .00039 .00038 .00036 .00035 -3.2 .00069 .00066 . 00064 .00062 .00060 .00058 .00056 .00054 .00052 .00050 -3.1 .00097 .00094 .00090 .00087 .00084 .00082 .00079 .00076 .00074 .00071 -3.0 .00135 .00131 .00126 .00122 .00118 .00114 .00111 .00107 . 00104 .00100 -2.9 .00187 .00181 .00175 .00169 .00164 .00159 .00154 .00149 .00144 .00139 -2.8 .00256 .00248 .00240 .00233 .00226 .00219 .00212 .00205 .00199 .00193 -2.7 .00347 .00336 .00326 .00317 . 00307 .00298 .00289 .00280 .00272 .00264 -2.6 .00466 .00453 .00440 .00427 .00415 .00402 .00391 .00379 .00368 .00357 -2.5 .00621 .00604 .00587 .00570 .00554 .00539 .00523 .00508 .00494 .00480 -2. 4 .00820 .00798 .00776 .00755 .00734 .00714 .00695 .00676 .00657 .00639 -2.3 .01072 .01044 .01017 .00990 .00964 .00939 .00914 .00889 .00866 .00842 -2.2 .01390 .01355 .01321 .01287 .01255 .01222 . 01191 .01160 .01130 .01101 -2.1 .01786 .01743 .01700 .01659 .01618 .01578 .01539 .01500 .01463 .01426 -2.0 .02275 .02222 .02169 .02118 .02068 .02018 .01970 .01923 .01876 .01831 -1.9 .02872 .02807 . 02743 .02680 .02619 .02559 .02500 .02442 .02385 .02330 -1.8 .03593 .03515 .03438 .03362 .03288 .03216 .03144 .03074 .03005 .02938 -1.7 .04457 .04363 .04272 .04182 .04093 .04006 .03920 .03836 . 03754 .03673 -1.6 .05480 .05370 .05262 .05155 .05050 .04947 .04846 .04746 .04648 .04551 -1.5 .06681 .06552 .06426 .06301 .06178 .06057 .05938 .05821 .05705 .05592 -1.4 .08076 .07927 .07780 .07636 . 07493 .07353 .07215 .07078 .06944 .06811 -1.3 .09680 .09510 .09342 .09176 .09012 .08851 .08691 .08534 .08379 .08226 -1.2 .11507 .11314 .11123 .10935 .10749 .10565 .10383 .10204 .10027 .09853 -1.1 . 13567 .13350 .13136 .12924 .12714 .12507 .12302 .12100 .11900 .11702 -1.0 .15866 .15625 .15386 .15151 .14917 .14686 .14457 .14231 .14007 .13786 -0.9 .18406 .18141 .17879 .17619 .17361 .17106 .16853 . 16602 .16354 .16109 -0.8 .21186 .20897 .20611 .20327 .20045 .19766 .19489 .19215 .18943 .18673 -0.7 .24196 .23885 .23576 .23270 .22965 .22663 .22363 .22065 .21770 .21476 -0.6 .27425 .27093 .26763 . 26435 .26109 .25785 .25463 .25143 .24825 .24510 -0.5 .30854 .30503 .30153 .29806 .29460 .29116 .28774 .28434 .28096 .27760 -0.4 .34458 .34090 .33724 .33360 .32997 .32636 .32276 .31918 .31561 . 31207 -0.3 .38209 .37828 .37448 .37070 .36693 .36317 .35942 .35569 .35197 .34827 -0.2 .42074 .41683 .41294 .40905 .40517 .40129 .39743 .39358 .38974 .38591 -0.1 .46017 .45620 .45224 .44828 .44433 . 44038 .43644 .43251 .42858 .42465 -0,0 .50000 .49601 .49202 .48803 .48405 .48006 .47608 .47210 .46812 .46414 СТАНДАРТНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ РАЗРЕШЕНИЕ: Значения таблицы представляют собой АРЕЮ ЛЕВШЕЕЕ от рейтинга Z. Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586 0.1 .53983 .54380 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 . 57535 0.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409 0.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173 0.4 .65542 .65910 .66276 .66640 . 67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793 0.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240 0.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490 0. 7 .75804 .76115 .76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524 0.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327 0.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 . 82894 .83147 .83398 .83646 .83891 1.0 .84134 .84375 .84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214 1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298 1.2 . 88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147 1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91309 .91466 .91621 .91774 1.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 . 92785 .92922 .93056 .93189 1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408 1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449 1.7 .95543 . 95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327 1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062 1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 . 97558 .97615 .97670 2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169 2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574 2.2 .98610 .98645 . 98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899 2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158 2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 . 99324 .99343 .99361 2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520 2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643 2.7 .99653 .99664 . 99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736 2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807 2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 . 99856 .99861 3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99896 .99900 3.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929 3.2 .99931 .99934 .99936 . 99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950 3.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965 3.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 . 99976 3.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983 3.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989 3.7 .99989 .99990 .99990 .99990 . 99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992 3.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995 3.9 .99995 .99995 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997

Вероятности качественного гауссовского распределения Z

Эта таблица организована таким образом, чтобы снабжать мир под кривой слева или меньше от определенного значения или “значения Z”. В этом случае, так как среднее равно нулю и поэтому дисперсия равна 1, значение Z равно количеству единиц обычного отклонения, далеких от среднего, и, следовательно, область является тем, что вероятность наблюдения стоимостного, но конкретного Z значения. Обратите также внимание, что в таблице показаны вероятности до 2-х знаков после запятой Z. В левом столбце показаны единицы измерения и, следовательно, первый знак после запятой, а значит, второй знак после запятой показан в самом верхнем ряду.

Но давайте вернемся к вопросу о вероятности того, что ИМП меньше 30, т.е. P(X)

Распределение индексов массы и стандартное нормальное распределение

Площадь под каждой кривой едина, но масштабирование оси X отличается. Обратите внимание, однако, что области слева от пунктирной линии эквивалентны. Распределение ИМП варьируется от 11 до 47, в то время как стандартизированное Гауссово распределение, Z, варьируется от -3 до трех. Попробуем вычислить P(X < 30). Для этого определим значение Z, соответствующее X = 30, а затем воспользуемся качественной гауссовской таблицей распределения, приведенной выше, для поиска вероятности или области под кривой. Последующая формула преобразует значение X в значение Z, также называемое равномерной оценкой:

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image110.gif

Где μ – это среднее, а σ – это дисперсия переменной X.

Для того, чтобы вычислить P(X < 30), мы преобразовываем X=30 в соответствующую ей оценку Z (это называется стандартизацией): Таким образом, P(X < 30) = P(Z < 0.17). Затем мы будем искать соответствующую вероятность для этой Z оценки из качественной гауссовской таблицы распределения, которая показывает, что P(X < 30) = P(Z < 0.17) = 0.5675. Таким образом, вероятность того, что мужчина в возрасте 60 лет имеет ИМТ, а 30 – 56.75%, составляет 56.75%.

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image111.gif

Другой пример

Используя эквивалентное распределение для индекса массы тела, какова вероятность того, что у мужчины в возрасте 60 лет индекс массы тела превышает 35? Другими словами, что такое P(X > 35)? Опять же, мы стандартизируем:

http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/lessonimages/equation_image112.gif

Индикатор изображения уравнения

Standard normal distribution with vertical line at Z=1. The area to the left of this is 0,8413, and the area to the right is 0.1587.

Теперь мы посещаем качественную гауссовскую таблицу распределения, чтобы показаться P(Z>1), а для Z=1.00 мы обнаруживаем, что P(Z

До этого P(Z>1)=1-0.8413=0.1587. Интерпретация: Почти 16% мужчин в возрасте 60 лет имеют ИМТ более 35 лет.

Калькулятор нормальной вероятности

Альтернативный доступный контент переходит в конец встроенного объекта

Z-баллы с R

В качестве альтернативы просмотру нормальных вероятностей в таблице или использованию Excel, мы можем использовать R для вычисления вероятностей. Например,

> pnorm(0)

[1] 0.5

Z-значение 0 (среднее любого распределения) имеет 50% площади слева. Какова вероятность того, что 60-летний мужчина в популяции выше имеет ИМТ менее 29 (среднее значение)? Z-значение будет 0, а pnorm(0)=0.5 или 50%.

Какова вероятность того, что 60-летний мужчина будет иметь ИМТ менее 30? Z-оценка была бы 0.16667.

> пнорм(0.16667)

[1] 0.5661851

Итак, вероятность 56,6%.

Какова вероятность того, что 60-летний мужчина будет иметь ИМТ больше 35?

35-29=6, что на одно стандартное отклонение выше среднего. Таким образом, мы можем вычислить область слева.

> пнорм(1)

[1] 0.8413447

А затем вычитайте результат из 1.0.

1-0.8413447= 0.1586553

Таким образом, вероятность того, что 60-летний мужчина с ИМТ больше 35, составляет 15,8%.

Или, мы можем использовать R, чтобы вычислить все это за один шаг следующим образом:

> 1-пнорма(1)

[1] 0.1586553