Если матрица A имеет непревзойденную матрицу камеры контроля скорости P (например, матрица [1 1 1; 0 1] имеет непревзойденную систему камер контроля скорости [1 0; 0]), то A не имеет никакого разложения камеры контроля скорости. Однако, если A – реальная матрица m×n с m>n, то A можно записать, используя так называемое сингулярное значение разложения формы

A=UDV^(T).

(1)

Следует отметить, что в литературе используется ряд контрастных понятийных конвенций. Пресс и др. (1992) определяют U как матрицу m×n, D как n×n, а V как n×n. Однако, в языке Вольфрама U определяется как m×m, D как m×n и V как n×n. В обеих системах U и V имеют ортогональные столбцы так, чтобы

U^(T)U=I

(2)

e

V^(T)V=I

(3)

(где две матрицы идентификации могут иметь разные размеры), а в D есть записи только по диагонали.

Для сложной матрицы A декомпозиция сингулярного значения – это декомпозиция в виде

A=UDV^(H),

(4)

где U и V – единичные матрицы, V^(H) – сопряженное переложение V, а D – диагональная матрица, элементы которой являются единичными значениями исходной матрицы. Если A – сложная матрица, то такое разложение с положительными сингулярными значениями всегда имеет место (Голуб и Ван Лоан 1996, стр. 70 и 73).

Разложение сингулярных значений реализуется в языке Вольфрам в виде SingularValueDecomposition[m], возвращающего список {U, D, V}, где U и V – матрицы, а D – диагональная матрица, составленная из сингулярных значений m.