Проще говоря, z-оценка (также называемая стандартной оценкой) дает представление о том, насколько она далека от среднего значения точки данных. Более технически это мера того, сколько стандартных отклонений ниже или выше данной популяции означают необработанный балл.

Значение z может быть помещено на кривую нормального распределения. Z-баллы варьируются от -3 стандартных отклонений (которые упадут в крайнем левом углу кривой нормального распределения) до +3 стандартных отклонений (которые упадут в крайнем правом углу кривой нормального распределения). Для того, чтобы использовать z-балллы, необходимо знать среднее значение μ и стандартное отклонение населения σ.

Основной формулой для выборки является z-значение:

z = (x – μ) / σ.

Например, скажем, у тебя результат теста 190. Среднее значение теста (μ) 150 и стандартное отклонение (σ) 25. Если предположить нормальное распределение, то ваша оценка “z” будет:

z = (x – μ) / σ.

= 190 – 150 / 25 = 1.6.

Счетчик z говорит вам о стольких стандартных отклонениях от среднего вашего счета. В этом примере ваша оценка составляет 1,6 стандартных отклонений от среднего значения.

Вы также можете увидеть формулу оценки z, показанную слева. Это та же самая формула, что и z = x – μ / σ, за исключением того, что вместо μ (среднее значение по выборке) используется x̄ (среднее значение по совокупности), а вместо σ (среднеквадратическое отклонение по совокупности) – s (среднеквадратическое отклонение по выборке). В любом случае, для его решения существуют точно такие же шаги.

Формула оценки Z: Стандартная ошибка среднего

Если у вас несколько примеров и вы хотите описать стандартное отклонение этих средств выборки (стандартная ошибка), вы должны использовать эту формулу оценки z:

z = (x – μ) / (σ / √n)

Этот z-значение скажет вам, что между средним значением выборки и средним значением популяции существует много стандартных ошибок.

Пример проблемы: В целом, средний рост женщин составляет 65 дюймов при среднеквадратическом отклонении 3,5 дюйма. Какова вероятность нахождения случайной выборки из 50 женщин со средним ростом 70″, при условии, что высоты распределены нормально?

z = (x – μ) / (σ / √n).

= (70 – 65) / (3.5/√50) = 5 / 0.495 = 10.1

Если ключевым здесь является то, что мы имеем дело с выборочным распределением средств, то для того, чтобы мы знали, что мы должны включить стандартную ошибку в формулу. Мы также знаем, что 99% значений подпадают под 3 стандартных отклонения от среднего в нормальном распределении вероятностей (см. правило 68 95 99.7). Таким образом, существует менее 1% вероятность того, что любая выборка женщин будет иметь среднюю высоту 70″.

Смущает, когда использовать σ, а когда – σ √n? См: Sigma / sqrt (n) – почему она используется?

Как вычислить Z-Score

Z-диапазон легко вычисляется на калькуляторе TI-83 или в Excel. Если же у вас нет и того, и другого, вы можете вычислить его вручную.

Введите значение X в уравнение z. В этом примере значение X – это ваш результат SAT, 1100.

CALCULATE A Z SCORE 1

Шаг 2: Введите среднее значение, μ, в уравнение z-значения

https://www.statisticshowto.datasciencecentral.com/wp-content/uploads/2013/08/CALCULATE-A-Z-SCORE-2.jpg

напишите стандартное отклонение, σ в уравнении z-score.

CALCULATE A Z SCORE 3

Шаг 4: Найдите ответ с помощью калькулятора:

(1100 – 1026) / 209 = .354. Это означает, что ваш результат был выше среднего на .354 devs std.

Шаг 5: (Необязательно) Найдите ваше значение z в таблице z, чтобы увидеть, какой процент тестируемого набрал ниже вас. Значение z в .354 равно .1368 + .5000* = .6368 или 63,68%.

*Почему вы добавляете .500 к результату? В таблице z приведены баллы за ПРАВИЛЬНУЮ среднюю оценку. Поэтому нам нужно добавить .500 для всей области левее среднего. Дополнительные примеры того, когда добавлять (или вычитать) .500, смотрите в нескольких примерах: Область под кривой нормального распределения.

4. 4. Z баллов и стандартных отклонений

Технически z-значение представляет собой число стандартных отклонений от стандартного значения референтной популяции (популяции, известные значения которой были зафиксированы, как на этих графиках, которые ЦКЗ составляет по весам людей). Например:

Z-значение 1 – 1 выше среднего стандартного отклонения.

Балл 2 – 2 выше среднего стандартного отклонения.

Балл -1.8 – -1.8 стандартного отклонения ниже среднего.

Показатель z указывает на то, где находится показатель на кривой нормального распределения. Z-значение нуля показывает, что значение является точно средним, в то время как значение +3 показывает, что значение намного выше среднего.

Вернуться к началу

5. 5. Как вы используете его в реальной жизни?

Вы можете использовать z-таблицу или график нормального распределения, чтобы получить представление о том, как z-значение 2.0 означает “выше среднего”. Предположим, что у вас есть вес человека (240 фунтов), который, как вы знаете, имеет z-значение 2.0. Знаете ли вы, что 2.0 выше среднего (из-за высокого позиционирования на кривой нормального распределения), но хотели бы знать, насколько больше, чем среднее значение этого веса?

Z-значение в середине кривой равно нулю. z-значение справа от среднего положительное, а z-значение слева от среднего отрицательное. Если посмотреть на показатель в z-таблице, то можно увидеть, какой процент населения находится выше или ниже вашего показателя. В следующей таблице показан z-значение 2,0, выделенное цветом .9772 (что в пересчете на 97,72%). Если вы посмотрите на ту же самую оценку (2.0), что и на кривую нормального распределения выше, вы увидите, что она соответствует 97.72%.

z score definition

Это говорит о том, что 97.72% населения набрало меньше баллов, а 100% – 97.72% = 2.28% набрало больше баллов. Очень простой 2,28% населения находится выше этого человека по весу…… вероятно, это хороший признак того, что он нуждается в питании!

Технология

1. Поиск Z-баллов на TI-89.

Редактор статистики/списка TI-89 Titanium содержит простое меню, в котором за считанные секунды можно выполнить поиск по Z-баллу. В этом разделе показано, как найти Z-значение критического значения в левом хвосте. Кривая нормального распределения симметрична, так что это также будет область в правом хвосте.

Вы не уверены, является ли ваш тест левым или правым хвостом? Смотрите раздел “Тест на левый хвост или правый хвост”, чтобы помочь вам принять решение.

Z-балл: Определение, формула и вычисление.

Содержание (общее):

Что такое Z-балл?

Формулы Z-баллов.

Как рассчитать Z-баллы.

Подробнее о Z-баллах и стандартных отклонениях.

Как это используется в реальной жизни?

Содержание (Технология):

Как найти Z-баллы по TI-89.

Как найти Z-баллы в Excel.

Как найти критическое значение Z на TI-83.

1. Что такое Z-значение?

Проще говоря, z-оценка (также называемая стандартной оценкой) дает вам представление о том, насколько далеко от среднего значения находится точка данных. Но более технически, это мера того, сколько стандартных отклонений ниже или выше численности населения означает, что приблизительная оценка является приблизительной.

Значение z может быть помещено на кривую нормального распределения. Z-баллы варьируются от -3 стандартных отклонений (которые упадут в крайнем левом углу кривой нормального распределения) до +3 стандартных отклонений (которые упадут в крайнем правом углу кривой нормального распределения). Для того, чтобы использовать Z-значение, необходимо знать среднее μ, а также среднеквадратическое отклонение населения σ.

Z-значения являются способом сравнения результатов с “нормальной” популяцией. Результаты тестов или обследований имеют тысячи возможных результатов и единиц; часто эти результаты могут показаться бессмысленными. Например, знание того, что чей-то вес составляет 150 фунтов, может быть хорошей информацией, но если вы хотите сравнить его с “средним” весом человека, просмотр обширной таблицы данных может быть ошеломляющим (особенно, если некоторые веса записываются в килограммах). Z-значение может сказать вам, где вес этого человека сравнивается со средним весом средней популяции.

Вернуться к началу страницы

2. Z Формулы оценок

Формула “Z”: Один образец

Базовая формула оценки z для выборки:

z = (x – μ) / σ.

Например, скажем, у тебя результат теста 190. Среднее значение теста (μ) 150 и стандартное отклонение (σ) 25. Если предположить нормальное распределение, то ваша оценка “z” будет:

z = (x – μ) / σ.

= 190 – 150 / 25 = 1.6.

Показатель z говорит вам, сколько стандартных отклонений от среднего вашего балла. В этом примере ваша оценка составляет 1,6 стандартных отклонений от среднего значения.

переменная z-оценкаВы также можете увидеть формулу z-оценки, показанную слева. Это та же самая формула, что и z = x – μ / σ, за исключением того, что вместо μ (среднее значение по выборке) используется x̄ (среднее значение по совокупности), а вместо σ (среднеквадратическое отклонение по совокупности) – s (среднеквадратическое отклонение по выборке). Однако шаги по его решению абсолютно одинаковы.

Формула оценки Z: Стандартная ошибка среднего

Когда у вас несколько примеров и вы хотите описать стандартное отклонение этих средств выборки (стандартная ошибка), вы должны использовать эту формулу z баллов:

z = (x – μ) / (σ / √n)

Этот z-значение скажет вам, сколько стандартных ошибок имеется между средним значением выборки и средним значением популяции.

Пример проблемы: В целом, средний рост женщин составляет 65 дюймов при среднеквадратическом отклонении 3,5 дюйма. Какова вероятность нахождения случайной выборки из 50 женщин со средним ростом 70″, при условии, что высоты распределены нормально?

z = (x – μ) / (σ / √n).

= (70 – 65) / (3.5/√50) = 5 / 0.495 = 10.1

Ключевым моментом здесь является то, что мы имеем дело с выборочным распределением средств, так что мы знаем, что мы должны включить стандартную ошибку в формулу. Мы также знаем, что 99% значений подпадают под 3 стандартных отклонения от среднего в нормальном распределении вероятностей (см. правило 68 95 99.7). Следовательно, вероятность того, что любая выборка женщин будет иметь среднюю высоту 70″, составляет менее 1%.

Смущает, когда использовать σ, а когда – σ √n? См: Sigma / sqrt (n) – почему она используется?

Назад к началу страницы

3. Как рассчитать Z-балл.

Вы можете легко вычислить z-значение на калькуляторе TI-83 или в Excel. Однако, если у вас нет ни того, ни другого, вы можете вычислить его вручную.

Пример вопроса: Вы берёте SAT и получаете 1100 баллов. Средний балл SAT равен 1026, а стандартное отклонение – 209. Насколько хорошо вы сдали тест по сравнению со средним тестом?

Шаг 1: Запишите ваше X-значение в уравнение z-оценки. Для данного примера вопрос X-значения – это ваша оценка SAT, 1100.

ВЫЧИСЛИТЕ Z БАЛЛОВ 1

Шаг 2: Введите среднее значение, μ, в уравнение z-значения.

ВЫЧИСЛИТЬ Z БАЛЛОВ 2

Шаг 3: Запишите стандартное отклонение, σ в уравнение z-значения.

ВЫЧИСЛИТЬ Z БАЛЛОВ 3

Шаг 4: Найдите ответ с помощью калькулятора:

(1100 – 1026) / 209 = .354. Это означает, что ваш результат был .354 std devs выше среднего.

Шаг 5: (Дополнительно) Посмотрите вверх по вашему z-значению в z-таблице, чтобы увидеть, какой процент тестирующих заработал ниже вас. Z-значение .354 равно .1368 + .5000* = .6368 или 63,68%.

*Почему вы добавляете .500 к результату? Показанная таблица z имеет баллы за ПРАВИЛЬНУЮ из средней величины. Следовательно, мы должны добавить .500 для всей области LEFT среднего значения. Дополнительные примеры того, когда добавлять (или вычитать) .500, см. в нескольких примерах: Область под кривой нормального распределения.

Нравится объяснение? Посмотрите Практическое руководство по статистике обмана, в котором есть еще сотни пошаговых объяснений, таких же, как и в этом!

Назад к началу страницы

4. Z баллов и стандартных отклонений

Технически z-значение – это число стандартных отклонений от среднего значения референтной популяции (популяции, известные значения которой были зафиксированы, как в этих диаграммах ЦКЗ собирает данные о весах людей). Например:

z-значение 1 – это 1 среднеквадратическое отклонение выше среднего.

Балл 2 – 2 среднеквадратических отклонения выше среднего.

Балл -1.8 – это -1.8 стандартного отклонения ниже среднего.

Показатель z говорит о том, где находится показатель на кривой нормального распределения. Z-значение нуля говорит вам о том, что значения являются точно средними, в то время как значение +3 говорит вам о том, что значение намного выше среднего.

Назад к началу страницы

5. Как он используется в реальной жизни?

Вы можете использовать z-таблицу и график нормального распределения, чтобы получить представление о том, как z-значение 2.0 означает “выше среднего”. Допустим, у вас есть вес человека (240 фунтов), и вы знаете, что его z-значение 2.0. Вы знаете, что 2.0 выше среднего (из-за высокого расположения на кривой нормального распределения), но вы хотите знать, насколько выше среднего этот вес?

Z-значение в центре кривой равно нулю. z-значение справа от среднего положительное, а z-значение слева от среднего отрицательное. Если вы посмотрите вверх по баллу в z-таблице, вы сможете определить, какой процент населения находится выше или ниже вашего балла. В таблице ниже показан z-значение 2.0, выделенное цветом .9772 (что в пересчете на 97.72%). Если вы посмотрите на ту же самую оценку (2.0) кривой нормального распределения выше, вы увидите, что она соответствует 97.72%.

определение балла z

Это говорит о том, что 97,72% баллов населения лежат ниже этого конкретного балла, а 100% – 97,72% = 2,28% баллов лежат выше этого балла. Просто 2,28% населения находится выше этого человека по весу…. возможно, это хороший признак того, что он должен соблюдать диету!

Технология

1. Как найти Z-значение на TI-89.

Редактор статистики/списка TI-89 Titanium содержит простое меню, в котором вы можете за считанные секунды просмотреть Z-баллы. В этом разделе показано, как найти Z-оценку критического значения в левом хвосте. Кривая нормального распределения симметрична, поэтому это также будет область в правом хвосте.

Не уверены, является ли ваш тест левым или правым хвостом? См. раздел “Тест с левым хвостом или с правым”, чтобы помочь вам принять решение.

Обратите внимание, что у вас должен быть установлен редактор Stats/List Editor, чтобы вы могли сделать распределение частот TI-89, используя эту инструкцию.

Z Оценка TI 89: Шаги

Посмотрите видео или прочитайте шаги, описанные ниже:

Пример задачи: Найти оценку z для α = .012 для теста с левым хвостом на стандартной кривой нормального распределения.

Шаг 1: Нажмите кнопку Apps, прокрутите до редактора Stats/List Editor и нажмите ENTER.

Если вы не видите редактора статистики и списка, вы можете скачать его здесь. Это официальное приложение TI, и вам нужно будет перенести его на ваш калькулятор с помощью кабеля, который изначально поставлялся с вашим TI-89.

Шаг 2: Нажмите F5 2 1, чтобы перейти к экрану “Обратная норма”.

Шаг 3: Введите .012 в поле “Область”.

Шаг 4: Введите 0 для среднего, μ и 1 для стандартного отклонения, σ.

Шаг 5: Нажмите ENTER.

Шаг 6: Прочитайте результат: калькулятор должен состоять из “Обратный ход = -2.25713”. Это ваш результат по очкам z.

Совет: Если вам дали среднее и стандартное отклонение, введите их вместо 0 и 1 на Шаге 4.

Вот как найти Z баллов по TI 89!

Как найти Z-балл в Excel.

Z-Score в Excel: Обзор

Z-оценка в Excel может быть быстро вычислена с помощью базовой формулы. Формула для вычисления z-массы составляет

z=(x-μ)/σ,

где μ – среднее по населению и σ – стандартное отклонение по населению.

Примечание: Когда стандартное отклонение популяции неизвестно или размер выборки меньше 6, следует использовать t-скор вместо z-скора.

Z-балл в Excel: Шаги

шаг 1: Введите среднюю численность в пустую ячейку. В данном примере введите “469” в ячейке A2. Необязательно: Введите слово “average” в качестве заголовка столбца в ячейке A1, чтобы запомнить значение в ячейке A2.

Шаг 2: Введите стандартное отклонение популяции в пустой ячейке. Для данного примера в ячейке B2 введите “119”. Необязательно: Введите слово “стандартное отклонение” в качестве заголовка столбца в ячейке B1, чтобы запомнить значение в ячейке B2.

Шаг 3: Введите значение X (в данном примере задача X – это ваш GRE-счет) в пустой ячейке. Для этого примера в ячейке C2 введите “650”. Необязательно: Введите слова “X” в качестве заголовка столбца в ячейке B1, чтобы запомнить, что означает значение в ячейке B2.

Шаг 4: В пустую ячейку введите следующую формулу:

=(C2-A2)/B2

Шаг 5: Нажмите “Enter”. В ячейке D2 появится z-значение: z-значение 1.521008 в этой выборке проблемы указывает на то, что ваш GRE-значение было 1.521008.

Вот и все! Вы нашли z-значение в Excel.

Подсказка: Вы можете использовать ее снова и снова, как только введете формулу один раз. Просто введите новое среднее, стандартное отклонение и значение X в соответствующие поля.